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Physique quantique : Fondements
Les matrices d
(j)
vérifient une propriété de groupe déduite de celle des matrices
D
(j)
d
(j)
m ′ m (θ 2 + θ 1 )=
m ′′
d
(j)
m ′ m ′′ (θ 2 )d
(j)
m ′′ m (θ 1 )
Il n’y pas de signe ± dans cette équation car l’angle de rotation peut être
supérieur à 2π.
Nous avons déjà mentionné l’arbitraire dans le choix de la rotation (θ, φ) :
nous aurions pu effectuer une première rotation d’un angle ψ autour de Oz
sans modifier l’axe ˆ
n final. Le nouvel opérateur de rotation serait
U [R
′ ]=U [R(θ, φ)]e
−iψJz
et le résultat (9.26) serait modifié par le facteur de phase exp(−imψ).Ladéfinition la plus générale des matrices de rotation fait intervenir trois angles,
appelés angles d’Euler, (φ, θ, ψ), et notre convention correspond au choix
d’angles d’Euler
2 (φ, θ, 0).
Dans la base |jm,i J y est représenté par une matrice réelle, car d’après
(9.23) les éléments de matrice de J + et de J − sont réels et
J y = −
i
2
(J + − J − )
La matrice exp(−iθJ y ) est aussi une matrice réelle et la propriété de groupe
U
† [R]=U
−1 [R]=U [R
−1 ]
se traduit par
d
(j) (θ)
†
=
d
(j) (−θ)
ce qui donne pour les éléments de matrice
d
(j)
m ′ m (θ)=d
(j)
mm ′ (−θ)
(9.36)
Il existe une autre propriété de symétrie (exercice 9.7.12)
d
(j)
m ′ m (θ)=(−1)
m−m
′ d
(j)
−m ′ ,−m (θ)
(9.37)
Enfin, on peut montrer que les matrices D
(j) forment une représentation dite
irréductible du groupe des rotations, c’est-à-dire que tout vecteur de E(j)
peut être obtenu à partir d’un vecteur arbitraire de cet espace par application
2. La notation habituelle pour les matrices de rotation est
D
(j) (θ, φ) → D
(j) (φ, θ, ψ =0 )
Physique quantique : Fondements
Les matrices d
(j)
vérifient une propriété de groupe déduite de celle des matrices
D
(j)
d
(j)
m ′ m (θ 2 + θ 1 )=
m ′′
d
(j)
m ′ m ′′ (θ 2 )d
(j)
m ′′ m (θ 1 )
Il n’y pas de signe ± dans cette équation car l’angle de rotation peut être
supérieur à 2π.
Nous avons déjà mentionné l’arbitraire dans le choix de la rotation (θ, φ) :
nous aurions pu effectuer une première rotation d’un angle ψ autour de Oz
sans modifier l’axe ˆ
n final. Le nouvel opérateur de rotation serait
U [R
′ ]=U [R(θ, φ)]e
−iψJz
et le résultat (9.26) serait modifié par le facteur de phase exp(−imψ).Ladéfinition la plus générale des matrices de rotation fait intervenir trois angles,
appelés angles d’Euler, (φ, θ, ψ), et notre convention correspond au choix
d’angles d’Euler
2 (φ, θ, 0).
Dans la base |jm,i J y est représenté par une matrice réelle, car d’après
(9.23) les éléments de matrice de J + et de J − sont réels et
J y = −
i
2
(J + − J − )
La matrice exp(−iθJ y ) est aussi une matrice réelle et la propriété de groupe
U
† [R]=U
−1 [R]=U [R
−1 ]
se traduit par
d
(j) (θ)
†
=
d
(j) (−θ)
ce qui donne pour les éléments de matrice
d
(j)
m ′ m (θ)=d
(j)
mm ′ (−θ)
(9.36)
Il existe une autre propriété de symétrie (exercice 9.7.12)
d
(j)
m ′ m (θ)=(−1)
m−m
′ d
(j)
−m ′ ,−m (θ)
(9.37)
Enfin, on peut montrer que les matrices D
(j) forment une représentation dite
irréductible du groupe des rotations, c’est-à-dire que tout vecteur de E(j)
peut être obtenu à partir d’un vecteur arbitraire de cet espace par application
2. La notation habituelle pour les matrices de rotation est
D
(j) (θ, φ) → D
(j) (φ, θ, ψ =0 )