9. Moment angulaire
301
Revenons à l’étude de la rotation qui amène l’axe Oz dans la direction ˆ
n
d’angles polaire et azimutal (θ, φ)
ˆ
n x =sinθ cos φ
ˆ
n y =sinθ sin φ
ˆ
n z =cosθ
(9.29)
Nous allons choisir par convention la rotation suivante : R,n o t éR(θ, φ),
sera le produit d’une première rotation d’angle θ autour de Oy suivie d’une
rotation de φ autour de Oz (figure 9.1)
z
ˆ z
y
x
φ
θ
θ
φ
ˆ
n
Fig. 9.1 – Rotation R(θ, φ) amenant l’axe Oz sur ˆ
n.
R(θ, φ)=R z (φ)R y (θ)
(9.30)
Compte tenu de (9.30) et de la loi de groupe, l’opérateur de rotation U [R(θ, φ)]
est donné en fonction des générateurs infinitésimaux J y et J z par
U [R(θ, φ)] = e
−iφJz e
−iθJy
(9.31)
et ses éléments de matrice dans une base |jm par
D
(j)
m ′ m [R(θ, φ)] = jm
′ |e
−iφJz
e
−iθJy |jm
(9.32)
Cette équation se simplifie en
D
(j)
m ′ m [R(θ, φ)] ≡ D
(j)
m ′ m (θ, φ)=e
−im
′ φ jm
′ |e
−iθJy |jm
(9.33)
= e
−im
′ φ d
(j)
m ′ m (θ)
(9.34)
Nous avons défini la matrice d
(j) (θ) par
d
(j)
m ′ m (θ)=jm
′ |e
−iθJy |jm
(9.35)