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Physique quantique : Fondements
Dans le cas général, l’état |ϕ R transformé par une rotation R d’un état |ϕ
est
|ϕ R = U [R] |ϕ
Nous allons donner la forme matricielle explicite des opérateurs de rotation
U [R] dans la base |jm. L’opérateur de rotation U [R] s’exprime en fonction
des générateurs infinitésimaux J x , J y et J z : cf. (7.30). Comme les composantes de
J commutent avec
J
2
,l ec o m m u t a t e u r[U (R),
J
2 ]=0et les éléments de matrice de U sont nuls si j = j
′
j
′ m
′ |U [R]|jm∝δ j ′ j
Dans le sous-espace E(j), l’opérateur U (R) sera représenté par une matrice
(2j +1)× (2j +1) notée D
(j) [R]. Ses éléments de matrice sont
D
(j)
m ′ m [R]=jm
′ |U [R]|jm
(9.25)
Les matrices D
(j)
sont appelées matrices de rotation,o umatrices de Wigner.
Examinons la transformation par rotation d’un état |jm qui donne le vecteur
|jm R
|jm R = U [R] |jm =
m ′
|jm
′ jm
′ | U [R] |jm
où l’on a remarqué que dans la relation de fermeture
j ′ ,m ′
|j
′ m
′ j
′ m
′ | = I
seuls les termes j = j
′
contribuent. On peut donc écrire
|jm R =
m ′
D
(j)
m ′ m [R]|jm
′
(9.26)
Rappelons les propriétés de groupe des opérateurs U [R] : dans le cas d’une
représentation vectorielle (7.12)
U [R 2 ]U [R 1 ]=U [R 2 R 1 ]
(9.27)
et dans celui d’une représentation spinorielle (7.13)
U [R 2 ]U [R 1 ]=±U [R 2 R 1 ]
(9.28)
Nous montrerons à la fin de ce paragraphe que (9.27) correspond au cas d’un
moment angulaire entier et (9.28) à celui d’un moment angulaire demi-entier.
À la propriété de groupe pour les opérateurs U correspond une propriété
analogue pour les matrices de rotation
D
(j)
m ′ m [R 2 R 1 ]=±
m ′′
D
(j)
m ′ m ′′ [R 2 ]D
(j)
m ′′ m [R 1 ]