9. Moment angulaire
299
Nous supprimerons par la suite l’indice τ qui ne jouera aucun rôle dans ce
chapitre. Les éléments de matrice de
J
2
, J z et J ± dans une base standard
sont
j
′ m
′ |
J
2 |jm = j(j +1)δ j ′ j δ m ′ m
(9.21)
j
′ m
′ |J z |jm = mδ j ′ j δ m ′ m
(9.22)
j
′ m
′ |J ± |jm =[ j(j +1)− mm
′ ]
1/2 δ j ′ j δ m ′ ,m±1
(9.23)
Dans le sous-espace E(j) où
J
2
a une valeur propre j(j+1) fixée, les opérateurs
J z et J ± sont représentés par des matrices (2j +1)× (2j +1),l am a t r i c e
représentant J z étant diagonale. Il est instructif (exercice 9.7.4) d’expliciter ces
matrices dans le cas j =1/2 et de retouver les matrices 2×2 (3.47) du spin 1/2,
ainsi que dans le cas j =1 , où l’on retrouve les générateurs infinitésimaux
des rotations dans l’espace à trois dimensions : la loi de transformation d’un
vecteur est celle d’un moment angulaire j =1. L’équation (9.23) donne pour
les générateurs infinitésimaux du cas j =1(exercice 9.7.4)
J x =
1
√
2
⎛
⎝
010
101
010
⎞
⎠ J y =
1
√
2
⎛
⎝
0 −i 0
i 0 −i
0 i
0
⎞
⎠ J z =
⎛
⎝
10 0
00 0
00−1
⎞
⎠
(9.24)
Ces générateurs infinitésimaux ont superficiellement une forme différente de
celle des générateurs T i déterminés en (7.26). En fait, ils y sont reliés par la
transformation unitaire (9.64) qui fait passer des composantes cartésiennes de
ˆ
r à ses composantes sphériques : exercice 9.7.4.
9.2 Matrices de rotation
Nous avons vu au chapitre 3 comment faire tourner un spin 1/2 : partant
d’un état |+ obtenu à l’aide d’un appareil de Stern-Gerlach dont le champ
magnétique est parallèle à Oz, nous savons construire grâce à (3.57) l’état
|+, ˆ
n obtenu à l’aide d’un appareil de Stern-Gerlach dont le champ magnétique est parallèle à ˆ
n. On fait agir sur l’état |+ un opérateur de rotation
U [R] qui transforme |+ en |+, ˆ
n
|+, ˆ
n = U [R]|+ = |+ R
La rotation R amène l’axe Oz sur la direction ˆ
n ; cette rotation n’est pas
unique, et nous verrons que cette absence d’unicité correspond à l’arbitraire
de phase dans la définition de |+, ˆ
n. Un autre exemple de rotation d’un
état physique a été donné au chapitre 3 dans le cas de la polarisation d’un
photon : partant d’un état de polarisation linéaire |x, on obtient un état de
polarisation linéaire |θ en lui appliquant un opérateur de rotation U [R z (θ)]
correspondant à une rotation d’angle θ autour de la direction de propagation
Oz du photon (3.29)
|θ =exp(−iθΣ z )|x = U [R z (θ)] |x
299
Nous supprimerons par la suite l’indice τ qui ne jouera aucun rôle dans ce
chapitre. Les éléments de matrice de
J
2
, J z et J ± dans une base standard
sont
j
′ m
′ |
J
2 |jm = j(j +1)δ j ′ j δ m ′ m
(9.21)
j
′ m
′ |J z |jm = mδ j ′ j δ m ′ m
(9.22)
j
′ m
′ |J ± |jm =[ j(j +1)− mm
′ ]
1/2 δ j ′ j δ m ′ ,m±1
(9.23)
Dans le sous-espace E(j) où
J
2
a une valeur propre j(j+1) fixée, les opérateurs
J z et J ± sont représentés par des matrices (2j +1)× (2j +1),l am a t r i c e
représentant J z étant diagonale. Il est instructif (exercice 9.7.4) d’expliciter ces
matrices dans le cas j =1/2 et de retouver les matrices 2×2 (3.47) du spin 1/2,
ainsi que dans le cas j =1 , où l’on retrouve les générateurs infinitésimaux
des rotations dans l’espace à trois dimensions : la loi de transformation d’un
vecteur est celle d’un moment angulaire j =1. L’équation (9.23) donne pour
les générateurs infinitésimaux du cas j =1(exercice 9.7.4)
J x =
1
√
2
⎛
⎝
010
101
010
⎞
⎠ J y =
1
√
2
⎛
⎝
0 −i 0
i 0 −i
0 i
0
⎞
⎠ J z =
⎛
⎝
10 0
00 0
00−1
⎞
⎠
(9.24)
Ces générateurs infinitésimaux ont superficiellement une forme différente de
celle des générateurs T i déterminés en (7.26). En fait, ils y sont reliés par la
transformation unitaire (9.64) qui fait passer des composantes cartésiennes de
ˆ
r à ses composantes sphériques : exercice 9.7.4.
9.2 Matrices de rotation
Nous avons vu au chapitre 3 comment faire tourner un spin 1/2 : partant
d’un état |+ obtenu à l’aide d’un appareil de Stern-Gerlach dont le champ
magnétique est parallèle à Oz, nous savons construire grâce à (3.57) l’état
|+, ˆ
n obtenu à l’aide d’un appareil de Stern-Gerlach dont le champ magnétique est parallèle à ˆ
n. On fait agir sur l’état |+ un opérateur de rotation
U [R] qui transforme |+ en |+, ˆ
n
|+, ˆ
n = U [R]|+ = |+ R
La rotation R amène l’axe Oz sur la direction ˆ
n ; cette rotation n’est pas
unique, et nous verrons que cette absence d’unicité correspond à l’arbitraire
de phase dans la définition de |+, ˆ
n. Un autre exemple de rotation d’un
état physique a été donné au chapitre 3 dans le cas de la polarisation d’un
photon : partant d’un état de polarisation linéaire |x, on obtient un état de
polarisation linéaire |θ en lui appliquant un opérateur de rotation U [R z (θ)]
correspondant à une rotation d’angle θ autour de la direction de propagation
Oz du photon (3.29)
|θ =exp(−iθΣ z )|x = U [R z (θ)] |x