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Physique quantique : Fondements
de H. Ces vecteurs ne sont pas de norme unité, mais si l’on définit |j, m − 1
par
|j, m − 1 =[j(j +1)− m(m − 1)]
−1/2 J − |jm
(9.14)
alors |j, m−1 est bien de norme unité d’après (9.13). D’autre part, en utilisant
(9.8)
J + J − |jm =[ j(j +1)− m(m − 1)]
1/2 J + |j, m − 1
=[ j(j +1)− m(m − 1)]|jm
soit
J + |j, m − 1 =[j(j +1)− m(m − 1)]
1/2 |jm
ou bien, avec la substitution m → m +1
J + |jm =[j(j +1)− m(m +1)]
1/2 |j, m +1
(9.15)
Les relations (9.14) ou (9.15) fixent complètement la phase relative des vecteurs |j, j, |j, j − 1, ...,|j, −j. Une base de E(j) formée de vecteurs |jm
qui satisfont à (9.14) ou (9.15) est appelée base standard |jm.
Il peut arriver que la donnée de (j, m) ne suffise pas à spécifier de façon
unique un vecteur de H :
J
2 et J z ne forment pas un ensemble complet de
propriétés physiques compatibles. Nous en verrons un exemple au § 9.4.2 avec
l’atome d’hydrogène : la donnée du moment angulaire (orbital), noté dans ce
cas l, ne suffit pas à spécifier un état lié, il faut en plus se donner un nombre
quantique n = l +1,l+2, ···, ou nombre quantique principal. En général,
on doit utiliser un nombre quantique, ou un ensemble de nombres quantiques
supplémentaires τ pour étiqueter des vecteurs propres |j, m = j de
J
2 et de
J z , normalisés par
τ, j, j|τ
′ ,j,j = δ τ,τ ′
Par application répétée de J − , on forme une base standard de E(τ, j)
|τ, j, j, |τ, j, j − 1, ......, |τ, j, −j +1, |τ, j, −j
Résumons les propriétés essentielles d’une base standard |τ, jm
J
2 |τ, jm = j(j +1)|τ, jm
J z |τ, jm = m|τ, jm
J + |τ, jm =[j(j +1)− m(m +1)]
1/2 |τ, j, m +1
J − |τ, jm =[j(j +1)− m(m − 1)]
1/2 |τ, j, m − 1
J + |τ, j, j =0
J − |τ, j, −j =0
τ
′ ,j
′ m
′ |τ, jm = δ τ ′ τ δ j ′ j δ m ′ m
(9.16)
(9.17)
(9.18)
(9.19)
(9.20)
Physique quantique : Fondements
de H. Ces vecteurs ne sont pas de norme unité, mais si l’on définit |j, m − 1
par
|j, m − 1 =[j(j +1)− m(m − 1)]
−1/2 J − |jm
(9.14)
alors |j, m−1 est bien de norme unité d’après (9.13). D’autre part, en utilisant
(9.8)
J + J − |jm =[ j(j +1)− m(m − 1)]
1/2 J + |j, m − 1
=[ j(j +1)− m(m − 1)]|jm
soit
J + |j, m − 1 =[j(j +1)− m(m − 1)]
1/2 |jm
ou bien, avec la substitution m → m +1
J + |jm =[j(j +1)− m(m +1)]
1/2 |j, m +1
(9.15)
Les relations (9.14) ou (9.15) fixent complètement la phase relative des vecteurs |j, j, |j, j − 1, ...,|j, −j. Une base de E(j) formée de vecteurs |jm
qui satisfont à (9.14) ou (9.15) est appelée base standard |jm.
Il peut arriver que la donnée de (j, m) ne suffise pas à spécifier de façon
unique un vecteur de H :
J
2 et J z ne forment pas un ensemble complet de
propriétés physiques compatibles. Nous en verrons un exemple au § 9.4.2 avec
l’atome d’hydrogène : la donnée du moment angulaire (orbital), noté dans ce
cas l, ne suffit pas à spécifier un état lié, il faut en plus se donner un nombre
quantique n = l +1,l+2, ···, ou nombre quantique principal. En général,
on doit utiliser un nombre quantique, ou un ensemble de nombres quantiques
supplémentaires τ pour étiqueter des vecteurs propres |j, m = j de
J
2 et de
J z , normalisés par
τ, j, j|τ
′ ,j,j = δ τ,τ ′
Par application répétée de J − , on forme une base standard de E(τ, j)
|τ, j, j, |τ, j, j − 1, ......, |τ, j, −j +1, |τ, j, −j
Résumons les propriétés essentielles d’une base standard |τ, jm
J
2 |τ, jm = j(j +1)|τ, jm
J z |τ, jm = m|τ, jm
J + |τ, jm =[j(j +1)− m(m +1)]
1/2 |τ, j, m +1
J − |τ, jm =[j(j +1)− m(m − 1)]
1/2 |τ, j, m − 1
J + |τ, j, j =0
J − |τ, j, −j =0
τ
′ ,j
′ m
′ |τ, jm = δ τ ′ τ δ j ′ j δ m ′ m
(9.16)
(9.17)
(9.18)
(9.19)
(9.20)