9. Moment angulaire
297
Nous venons de montrer que les vecteurs J ± |jm sont vecteurs propres de
J
2
avec la valeur propre j(j +1) et de J z avec la valeur propre m ± 1.D ep l u s ,
supposant |jm de norme unité : jm|jm =1 , on peut calculer la norme de
J + |jm à partir de (9.9)
||J + |jm||
2
= jm|J − J + |jm = jm|
J
2 − J z (J z +1)|jm
= j(j +1)− m(m +1)=(j − m)(j + m +1)≥ 0
(9.12)
et celle de J − |jm à partir de (9.8)
||J − |jm||
2 = jm|J + J − |jm = jm|
J
2 − J z (J z − 1)|jm
= j(j +1)− m(m − 1) = (j + m)(j − m +1)≥ 0
(9.13)
La positivité n’est assurée simultanément pour les deux normes que si −j ≤
m ≤ j.P a r t a n td e|jm, par application répétée de J + , on obtient une série
de vecteurs propres communs à
J
2
et J z , étiquetés par (j, m +1), (j, m +2),
etc. Ces vecteurs propres ont une norme positive tant que m ≤ j,m a i sl a
norme deviendrait négative pour m>j. Il faut donc que la série s’arrête, ce
qui n’est possible que si l’un des vecteurs (J + )
n |jm s’annule pour une valeur
entière de n = n 1 +1 telle que m + n 1 = j
J + [(J + )
n1 |jm]=0
Le même raisonnement avec J − montre qu’il doit exister un entier n 2 tel que
J − [(J − )
n2 |jm]=0
Des relations
j = m + n 1
− j = m − n 2
on déduit que 2j,etdonc(2j +1) doit être un nombre entier, d’où le théorème
de diagonalisation de
J
2
et de J z .
Théorème. Les valeurs possibles de j sont entières ou demi-entières : j =
0, 1/2, 1, 3/2, ... Si |jm est vecteur propre commun à
J
2
et J z , m prend
nécessairement l’une des (2j +1) valeurs
m = −j, −j +1, −j +2, ······ ,j− 2,j− 1,j
Lorsque j prend les valeurs 0, 1, 2, ..., on dit que le moment angulaire
est entier, et qu’il est demi-entier
1
lorsque j =1 /2, 3/2, ... Examinons la
normalisation et la phase des vecteurs |jm. Partant d’un vecteur |jm on
construit par application répétée de J + et de J − une série de (2j +1) vecteurs
orthogonaux, sous-tendant un sous-espace vectoriel à (2j +1) dimensions E(j)
1. Bien que la moitié d’un entier pair soit aussi un demi-entier...
297
Nous venons de montrer que les vecteurs J ± |jm sont vecteurs propres de
J
2
avec la valeur propre j(j +1) et de J z avec la valeur propre m ± 1.D ep l u s ,
supposant |jm de norme unité : jm|jm =1 , on peut calculer la norme de
J + |jm à partir de (9.9)
||J + |jm||
2
= jm|J − J + |jm = jm|
J
2 − J z (J z +1)|jm
= j(j +1)− m(m +1)=(j − m)(j + m +1)≥ 0
(9.12)
et celle de J − |jm à partir de (9.8)
||J − |jm||
2 = jm|J + J − |jm = jm|
J
2 − J z (J z − 1)|jm
= j(j +1)− m(m − 1) = (j + m)(j − m +1)≥ 0
(9.13)
La positivité n’est assurée simultanément pour les deux normes que si −j ≤
m ≤ j.P a r t a n td e|jm, par application répétée de J + , on obtient une série
de vecteurs propres communs à
J
2
et J z , étiquetés par (j, m +1), (j, m +2),
etc. Ces vecteurs propres ont une norme positive tant que m ≤ j,m a i sl a
norme deviendrait négative pour m>j. Il faut donc que la série s’arrête, ce
qui n’est possible que si l’un des vecteurs (J + )
n |jm s’annule pour une valeur
entière de n = n 1 +1 telle que m + n 1 = j
J + [(J + )
n1 |jm]=0
Le même raisonnement avec J − montre qu’il doit exister un entier n 2 tel que
J − [(J − )
n2 |jm]=0
Des relations
j = m + n 1
− j = m − n 2
on déduit que 2j,etdonc(2j +1) doit être un nombre entier, d’où le théorème
de diagonalisation de
J
2
et de J z .
Théorème. Les valeurs possibles de j sont entières ou demi-entières : j =
0, 1/2, 1, 3/2, ... Si |jm est vecteur propre commun à
J
2
et J z , m prend
nécessairement l’une des (2j +1) valeurs
m = −j, −j +1, −j +2, ······ ,j− 2,j− 1,j
Lorsque j prend les valeurs 0, 1, 2, ..., on dit que le moment angulaire
est entier, et qu’il est demi-entier
1
lorsque j =1 /2, 3/2, ... Examinons la
normalisation et la phase des vecteurs |jm. Partant d’un vecteur |jm on
construit par application répétée de J + et de J − une série de (2j +1) vecteurs
orthogonaux, sous-tendant un sous-espace vectoriel à (2j +1) dimensions E(j)
1. Bien que la moitié d’un entier pair soit aussi un demi-entier...