296
Physique quantique : Fondements
La seule connaissance de ces relations de commutation va nous permettre de
diagonaliser le moment angulaire, c’est-à-dire de trouver les vecteurs propres
et les valeurs propres de combinaisons convenablement choisies de J x , J y et
J z . Comme ces trois opérateurs ne commutent pas entre eux, on ne peut
évidemment pas les diagonaliser simultanément : les trois composantes de
J
sont mutuellement incompatibles. Une autre observation est que
J
2
est un
opérateur scalaire et, d’après (7.33), un tel opérateur commute avec les trois
composantes de
J
[
J
2 ,J k ]=0
(9.3)
ce que l’on peut vérifier par un calcul explicite (exercice 9.7.1). On choisit
en général de diagonaliser simultanément
J
2
et J z : c’est ce que l’on appelle
souvent quantifier le moment angulaire suivant Oz. On dit aussi que l’axe Oz
est choisi comme axe de quantification du moment angulaire. Il est commode
de définir les opérateurs J ± = J
†
∓ par
J ± = J x ± iJ y
(9.4)
On vérifie immédiatement les relations de commutation et les identités suivantes
[J z ,J ± ]=±J ±
(9.5)
[J + ,J − ]=2 J z
(9.6)
J
2 =
1
2
(J − J + + J + J − )+J
2
z
(9.7)
J + J − =
J
2 − J z (J z − 1)
(9.8)
J − J + =
J
2 − J z (J z +1)
(9.9)
Ces relations nous seront utiles pour la diagonalisation. Soit |jm un vecteur
propre de
J
2
et de J z ,o ùj étiquette la valeur propre de
J
2
et m celle de
J z . Comme
J
2
est un opérateur positif, ses valeurs propres sont ≥ 0 et on les
écrit sous la forme j(j +1) avec j ≥ 0 ; on justifiera bientôt cette écriture des
valeurs propres de
J
2
.Lenom brem est appelé nombre quantique magnétique.
En résumé,
J
2 |jm = j(j +1)|jm
(9.10)
J z |jm = m|jm
(9.11)
D’après (9.5), les vecteurs J ± |jm sont vecteurs propres de J z avec la valeur
propre m ± 1
J z [J ± |jm]=( J ± J z ± J ± )|jm = J ± (m ± 1)|jm
=( m ± 1)[J ± |jm]
De même, comme [
J
2 ,J ± ]=0
J
2 [J ± |jm]=j(j +1)[J ± |jm]