8. Mécanique ondulatoire
293
2. On suppose que l’état initial S +Π est
|ψ(t i ) = |n ⊗ ϕ
où |n est un vecteur propre de A, dont le spectre est supposé pour simplifier
non dégénéré, A|n = a n |n,et|ϕ un état de la particule localisé au voisinage
d’un point x avec une dispersion ∆x. Montrer que l’état final est
|ψ(t f ) = |n ⊗ ϕ n avec |ϕ n = e
−igAP/ |ϕ
Soit ϕ n (x)=x|ϕ n , la fonction d’onde finale de la particule. Montrer que
ϕ n (x)=ϕ(x − ga n )
La fonction ϕ n (x) est donc localisée au voisinage du point x − ga n ,e ts i
g|a n − a m |≫∆x quel que soit n = m, la position de la particule permet de
remonter à la valeur a n de A et effectue donc une mesure de A. L’état final
de la particule est parfaitement corrélé à la valeur de A et à l’état final de S
car les états |ϕ n et |ϕ m sont orthogonaux pour n = m : ϕ n |ϕ m = δ nm .
3. Quel est l’état final de Π si l’état initial de S est la superposition linéaire
|χ =
n
c n |n
Montrer que la probabilité d’observer S dans l’état final |n est |c n |
2 :l a
mesure est idéale car elle ne modifie pas les probabilités |c n |
2 .
8.6.14 Transformation de Galilée
Considérons une onde plane classique, par exemple une vibration sonore,
se propageant suivant l’axe des x
f (x, t)=A cos(kx − ωt)
et une transformation de Galilée de vitesse v
x
′ = x + vt
t
′ = t
1. Montrer que pour une onde classique l’amplitude transformée f
′ (x
′ ,t
′ )
vérifie
f
′ (x
′ ,t
′ )=f (x, t)
d’où l’on tire la loi de transformation des vecteurs d’onde et des fréquences
k
′ = kω
′ = ω + vk
Quelle est l’interprétation physique de la loi de transformation des fréquences ?
Supposons maintenant que l’on ait affaire à une onde de de Broglie pour une