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Physique quantique : Fondements
3. Description quantique. Soit ϕ ± ( r, t), la fonction d’onde d’un atome dont
le spin est dans l’état |±±.M o n t r e rq u eϕ ± vérifie l’équation de Schrödinger
i
∂ϕ ±
∂t
=
−
2
2m
∇
2 ∓ μB
ϕ ±
On définit la position moyenne r ± (t) et l’impulsion moyenne p ± (t) des
paquets d’ondes ϕ ± ( r, t) par
r ± (t)=
d
3 rr r |ϕ ± ( r, t)|
2
p ± (t)=
d
3 rϕ
∗
± ( r, t)
−i
∇ϕ ± ( r, t)
Écrire les équations d’évolution de ces valeurs moyennes en calculant
d r ± (t)/dt et d p ± (t)/dt à l’aide du théorème d’Eherenfest (4.26). Montrer que l’écart δ entre les centres des deux paquets d’ondes est le même que
celui calculé à la question 2 pour les trajectoires classiques.
4. Invariance par parité. Dans une configuration expérimentale où l’on
analyse un spin dirigé suivant Oz à l’aide d’un appareil de Stern-Gerlach tel
que
B Ox, on suppose que le spin est dévié préférentiellement dans la direction x>0 ; par exemple S x > 0. En examinant l’image de l’expérience dans
un miroir situé dans le plan xOy, montrer qu’une telle déviation préférentielle
est exclue si les interactions pertinentes dans l’expérience sont invariantes par
parité (ce qui est effectivement le cas).
8.6.13 Modèle de mesure de von Neumann
1. Dans le modèle de mesure quantique imaginé par von Neumann, on se
propose de mesurer une propriété physique A d’un système quantique S en
faisant interagir ce système avec une particule (quantique) Π dont l’opérateur
impulsion est P ; on se place pour simplifier à une dimension d’espace. Le
hamiltonien d’interaction est supposé de la forme
H = g(t)AP
où g(t) est une fonction positive présentant un pic aigu de largeur τ autour
de t =0et telle que
g =
∞
−∞
g(t)dt ≃
τ/2
−τ/2
g(t)dt
On suppose que l’on peut négliger l’évolution de S et de Π pendant la durée
très courte τ de l’interaction entre S et Π, qui a lieu entre les temps t i et t f :
t i ≃−τ/2 et t f ≃ τ/2. En déduire l’opérateur d’évolution (4.14)
U (t f ,t i ) ≃ e
−igAP/
Physique quantique : Fondements
3. Description quantique. Soit ϕ ± ( r, t), la fonction d’onde d’un atome dont
le spin est dans l’état |±±.M o n t r e rq u eϕ ± vérifie l’équation de Schrödinger
i
∂ϕ ±
∂t
=
−
2
2m
∇
2 ∓ μB
ϕ ±
On définit la position moyenne r ± (t) et l’impulsion moyenne p ± (t) des
paquets d’ondes ϕ ± ( r, t) par
r ± (t)=
d
3 rr r |ϕ ± ( r, t)|
2
p ± (t)=
d
3 rϕ
∗
± ( r, t)
−i
∇ϕ ± ( r, t)
Écrire les équations d’évolution de ces valeurs moyennes en calculant
d r ± (t)/dt et d p ± (t)/dt à l’aide du théorème d’Eherenfest (4.26). Montrer que l’écart δ entre les centres des deux paquets d’ondes est le même que
celui calculé à la question 2 pour les trajectoires classiques.
4. Invariance par parité. Dans une configuration expérimentale où l’on
analyse un spin dirigé suivant Oz à l’aide d’un appareil de Stern-Gerlach tel
que
B Ox, on suppose que le spin est dévié préférentiellement dans la direction x>0 ; par exemple S x > 0. En examinant l’image de l’expérience dans
un miroir situé dans le plan xOy, montrer qu’une telle déviation préférentielle
est exclue si les interactions pertinentes dans l’expérience sont invariantes par
parité (ce qui est effectivement le cas).
8.6.13 Modèle de mesure de von Neumann
1. Dans le modèle de mesure quantique imaginé par von Neumann, on se
propose de mesurer une propriété physique A d’un système quantique S en
faisant interagir ce système avec une particule (quantique) Π dont l’opérateur
impulsion est P ; on se place pour simplifier à une dimension d’espace. Le
hamiltonien d’interaction est supposé de la forme
H = g(t)AP
où g(t) est une fonction positive présentant un pic aigu de largeur τ autour
de t =0et telle que
g =
∞
−∞
g(t)dt ≃
τ/2
−τ/2
g(t)dt
On suppose que l’on peut négliger l’évolution de S et de Π pendant la durée
très courte τ de l’interaction entre S et Π, qui a lieu entre les temps t i et t f :
t i ≃−τ/2 et t f ≃ τ/2. En déduire l’opérateur d’évolution (4.14)
U (t f ,t i ) ≃ e
−igAP/