8. Mécanique ondulatoire
291
deux niveaux sous l’effet d’une perturbation harmonique, par exemple
p +→− (t)=
ω
2
1
Ω 2 sin
2 Ωt
2
Ω
2 =
(ω − ω 0 )
2 + ω
2
1
1/2
Montrer que la formule approchée (8.150) s’obtient comme la limite de la
f o r m u l ed eR a b is i
•| ω − ω 0 |≫ω 1 , c’est-à dire loin de la résonance
• ou si ω 1 t ≪ 1, c’est-à-dire pour des temps assez courts.
2. Potentiel constant. Donner l’expression de l’amplitude (8.149) γ
(1) (t) et
de la probabilité de transition par unité de temps Γ lorsque le potentiel W (t)
de (8.147) est indépendant du temps.
8.6.12 Étude de l’expérience de Stern-Gerlach
1. Étude classique. Les notations sont celles du § 3.2.2. La trajectoire des
atomes d’argent (figure 3.8) est supposée contenue dans le plan de symétrie
yOz et voisine de l’axe Oy.M o n t r e rq u e∂B z /∂x| x=0 =0et que ∂B z /∂y =0
si l’on néglige les effets de bord. Montrer qu’une forme approchée du champ
magnétique vérifiant les équations de Maxwell dans l’entrefer de l’aimant au
voisinage de x =0et z =0est
B = B 0 ˆ
z + b(z ˆ
z − xˆ x)
où b = ∂B z /∂z| z=0 . L’expression classique de la force est
F = −
∇( μ ·
B).
En déduire les composantes F x , F y et F z . Montrer que sous l’effet de B 0 ,
le moment magnétique μ précesse autour de l’axe Oz avec une fréquence
ω = |γB 0 |,o ùγ est le facteur gyromagnétique, et que si 1/ω est très petit
par rapport au temps de transit de l’atome dans l’entrefer de l’aimant, alors
la composante μ x donne une force moyenne nulle : tout se passe comme si le
moment magnétique était soumis à une force effective
F = bμ z ˆ
z.
2. Données numériques. Les atomes d’argent de masse m =1.8 × 10
−27 kg
sortent du four avec une vitesse v ≃ 500 m.s
−1 et une dispersion des vitesses
∆v ∼ 10 m.s
−1 . Les fentes collimatrices ont une hauteur ∆z =1 0
−4 m, la
longueur de l’entrefer est L =5× 10
−2 m, le champ magnétique B 0 =1Te t
b =10
4 T.m
−1 . Montrer que l’écart δ entre les deux trajectoires correspondant
à S z = /2 et S z = −/2 àl as o r t i ed el ’ e n t r e f e rv a u t
δ =
μb
m
L
v
2
Évaluer numériquement δ. Calculer le produit ∆z∆p z et montrer que
∆z∆p z ≫ . On peut donc traiter les trajectoires des atomes de façon
classique.
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deux niveaux sous l’effet d’une perturbation harmonique, par exemple
p +→− (t)=
ω
2
1
Ω 2 sin
2 Ωt
2
Ω
2 =
(ω − ω 0 )
2 + ω
2
1
1/2
Montrer que la formule approchée (8.150) s’obtient comme la limite de la
f o r m u l ed eR a b is i
•| ω − ω 0 |≫ω 1 , c’est-à dire loin de la résonance
• ou si ω 1 t ≪ 1, c’est-à-dire pour des temps assez courts.
2. Potentiel constant. Donner l’expression de l’amplitude (8.149) γ
(1) (t) et
de la probabilité de transition par unité de temps Γ lorsque le potentiel W (t)
de (8.147) est indépendant du temps.
8.6.12 Étude de l’expérience de Stern-Gerlach
1. Étude classique. Les notations sont celles du § 3.2.2. La trajectoire des
atomes d’argent (figure 3.8) est supposée contenue dans le plan de symétrie
yOz et voisine de l’axe Oy.M o n t r e rq u e∂B z /∂x| x=0 =0et que ∂B z /∂y =0
si l’on néglige les effets de bord. Montrer qu’une forme approchée du champ
magnétique vérifiant les équations de Maxwell dans l’entrefer de l’aimant au
voisinage de x =0et z =0est
B = B 0 ˆ
z + b(z ˆ
z − xˆ x)
où b = ∂B z /∂z| z=0 . L’expression classique de la force est
F = −
∇( μ ·
B).
En déduire les composantes F x , F y et F z . Montrer que sous l’effet de B 0 ,
le moment magnétique μ précesse autour de l’axe Oz avec une fréquence
ω = |γB 0 |,o ùγ est le facteur gyromagnétique, et que si 1/ω est très petit
par rapport au temps de transit de l’atome dans l’entrefer de l’aimant, alors
la composante μ x donne une force moyenne nulle : tout se passe comme si le
moment magnétique était soumis à une force effective
F = bμ z ˆ
z.
2. Données numériques. Les atomes d’argent de masse m =1.8 × 10
−27 kg
sortent du four avec une vitesse v ≃ 500 m.s
−1 et une dispersion des vitesses
∆v ∼ 10 m.s
−1 . Les fentes collimatrices ont une hauteur ∆z =1 0
−4 m, la
longueur de l’entrefer est L =5× 10
−2 m, le champ magnétique B 0 =1Te t
b =10
4 T.m
−1 . Montrer que l’écart δ entre les deux trajectoires correspondant
à S z = /2 et S z = −/2 àl as o r t i ed el ’ e n t r e f e rv a u t
δ =
μb
m
L
v
2
Évaluer numériquement δ. Calculer le produit ∆z∆p z et montrer que
∆z∆p z ≫ . On peut donc traiter les trajectoires des atomes de façon
classique.