290
Physique quantique : Fondements
et relier A à
√
T ,o ùT est le coefficient de transmission par effet tunnel entre
les deux puits.
5. Barrière de potentiel. On s’intéresse maintenant au cas g>0,q u i
modélise une barrière de potentiel. Calculer la matrice de passage et donner
l’expression du coefficient de transmission.
6. Potentiel périodique. Un électron se déplaçant dans un cristal à une
dimension est soumis à un potentiel périodique de période l que l’on modélise
par (8.106). Pour fixer les idées, on prendra g>0. Utiliser les conditions sur
ϕ
′ (x) pour obtenir directement (8.108)
cos ql =coskl +
g
2k
sin kl
Montrer qu’il existe des régions interdites pour l’énergie. Tracer qualitativement l’énergie E q en fonction de q.
8.6.8 Niveaux d’énergie du puits cubique infini
en dimension d =3
Déterminer l’énergie des six premiers niveaux d’énergie du puits cubique
infini en fonction du côté L du cube ainsi que leur dégénérescence.
8.6.9 Courant de probabilité à trois dimensions
Montrer l’équation de continuité
∂ρ
∂t
+
∇· j =0
ρ = |ϕ( r, t)|
2
pour le courant (8.123).
8.6.10 Densité de niveaux
1. Calculer la densité de niveaux d’énergie D(E) en dimension d =2 .
Montrer qu’elle est indépendante de E.
2. Calculer directement le nombre de niveaux Φ(E) dont l’énergie est
inférieure à E, en comptant le nombre de niveaux possibles dans une sphère
de rayon |p| =
√
2mE dans l’espace des impulsions, et en prenant garde aux
conditions aux limites. Retrouver l’expression (8.136) de D(E) par
D(E)=
dΦ(E)
dE
8.6.11 Règle d’or de Fermi
1. Comparaison avec la formule de Rabi. Dans un système à deux niveaux,
la formule de Rabi (5.62) donne exactement la probabilité de transition entre
Physique quantique : Fondements
et relier A à
√
T ,o ùT est le coefficient de transmission par effet tunnel entre
les deux puits.
5. Barrière de potentiel. On s’intéresse maintenant au cas g>0,q u i
modélise une barrière de potentiel. Calculer la matrice de passage et donner
l’expression du coefficient de transmission.
6. Potentiel périodique. Un électron se déplaçant dans un cristal à une
dimension est soumis à un potentiel périodique de période l que l’on modélise
par (8.106). Pour fixer les idées, on prendra g>0. Utiliser les conditions sur
ϕ
′ (x) pour obtenir directement (8.108)
cos ql =coskl +
g
2k
sin kl
Montrer qu’il existe des régions interdites pour l’énergie. Tracer qualitativement l’énergie E q en fonction de q.
8.6.8 Niveaux d’énergie du puits cubique infini
en dimension d =3
Déterminer l’énergie des six premiers niveaux d’énergie du puits cubique
infini en fonction du côté L du cube ainsi que leur dégénérescence.
8.6.9 Courant de probabilité à trois dimensions
Montrer l’équation de continuité
∂ρ
∂t
+
∇· j =0
ρ = |ϕ( r, t)|
2
pour le courant (8.123).
8.6.10 Densité de niveaux
1. Calculer la densité de niveaux d’énergie D(E) en dimension d =2 .
Montrer qu’elle est indépendante de E.
2. Calculer directement le nombre de niveaux Φ(E) dont l’énergie est
inférieure à E, en comptant le nombre de niveaux possibles dans une sphère
de rayon |p| =
√
2mE dans l’espace des impulsions, et en prenant garde aux
conditions aux limites. Retrouver l’expression (8.136) de D(E) par
D(E)=
dΦ(E)
dE
8.6.11 Règle d’or de Fermi
1. Comparaison avec la formule de Rabi. Dans un système à deux niveaux,
la formule de Rabi (5.62) donne exactement la probabilité de transition entre