8. Mécanique ondulatoire
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m étant la masse de la particule soumise au potentiel. Ce potentiel donne
parfois une approximation commode. Par exemple, il peut représenter une
barrière de potentiel de largeur a et de hauteur V 0 , dans la limite où a → 0
et V 0 →∞ , le produit V 0 a restant constant et égal à
2 g/(2m). Dans le cas
d’une barrière (potentiel répulsif), g>0, mais on peut aussi modéliser un
puits (potentiel attractif), auquel cas g<0.
1. Montrer que g a pour dimension l’inverse d’une longueur.
2. La fonction ϕ(x) obéit à l’équation de Schrödinger
−
d
2
dx 2 + gδ(x)
ϕ(x)=
2mE
2 ϕ(x)
Montrer que la dérivée de ϕ(x) vérifie au voisinage de x =0
ϕ
′ (0
+ ) − ϕ
′ (0
− )=gϕ(0)
ϕ(0
± ) = lim
ε→0 ±
ϕ(ε)
Supposant g<0, montrer qu’il existe un état lié et un seul. Déterminer son
énergie et la fonction d’onde correspondante. Montrer que l’on retrouve les
résultats en prenant la limite du puits carré avec V 0 a →
2 |g|/(2m) et a → 0.
3. Modèle pour une molécule diatomique. Supposant toujours g<0,o n
modélise très grossièrement le potentiel auquel est soumis un électron d’une
molécule diatomique par
V (x)=
2 g
2m
δ(x + l)+δ(x − l)
La droite des noyaux est prise comme axe des x et les deux noyaux sont situés
en x = −l et x =+l. Montrer que l’on peut classer les solutions de l’équation
de Schrödinger en solutions paires et impaires. Si la fonction d’onde est paire,
montrer qu’il existe un seul état lié donné par
κ =
|g|
2
(1 + e
−2κl )
κ =
2m|E|
2
Tracer qualitativement sa fonction d’onde. Si la fonction d’onde est impaire,
déterminer l’équation donnant l’énergie des états liés
κ =
|g|
2
(1 − e
−2κl )
Existe-t-il toujours un état lié ? Sinon, quelle condition faut-il imposer ? Tracer
qualitativement la fonction d’onde lorsqu’il y a un état lié.
4. Puits double et effet tunnel. On reprend la question précédente en supposant que κl ≫ 1. Montrer que les deux états liés constituent un système à
deux niveaux dont le hamiltonien est
H =
E 0 −A
−AE 0
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m étant la masse de la particule soumise au potentiel. Ce potentiel donne
parfois une approximation commode. Par exemple, il peut représenter une
barrière de potentiel de largeur a et de hauteur V 0 , dans la limite où a → 0
et V 0 →∞ , le produit V 0 a restant constant et égal à
2 g/(2m). Dans le cas
d’une barrière (potentiel répulsif), g>0, mais on peut aussi modéliser un
puits (potentiel attractif), auquel cas g<0.
1. Montrer que g a pour dimension l’inverse d’une longueur.
2. La fonction ϕ(x) obéit à l’équation de Schrödinger
−
d
2
dx 2 + gδ(x)
ϕ(x)=
2mE
2 ϕ(x)
Montrer que la dérivée de ϕ(x) vérifie au voisinage de x =0
ϕ
′ (0
+ ) − ϕ
′ (0
− )=gϕ(0)
ϕ(0
± ) = lim
ε→0 ±
ϕ(ε)
Supposant g<0, montrer qu’il existe un état lié et un seul. Déterminer son
énergie et la fonction d’onde correspondante. Montrer que l’on retrouve les
résultats en prenant la limite du puits carré avec V 0 a →
2 |g|/(2m) et a → 0.
3. Modèle pour une molécule diatomique. Supposant toujours g<0,o n
modélise très grossièrement le potentiel auquel est soumis un électron d’une
molécule diatomique par
V (x)=
2 g
2m
δ(x + l)+δ(x − l)
La droite des noyaux est prise comme axe des x et les deux noyaux sont situés
en x = −l et x =+l. Montrer que l’on peut classer les solutions de l’équation
de Schrödinger en solutions paires et impaires. Si la fonction d’onde est paire,
montrer qu’il existe un seul état lié donné par
κ =
|g|
2
(1 + e
−2κl )
κ =
2m|E|
2
Tracer qualitativement sa fonction d’onde. Si la fonction d’onde est impaire,
déterminer l’équation donnant l’énergie des états liés
κ =
|g|
2
(1 − e
−2κl )
Existe-t-il toujours un état lié ? Sinon, quelle condition faut-il imposer ? Tracer
qualitativement la fonction d’onde lorsqu’il y a un état lié.
4. Puits double et effet tunnel. On reprend la question précédente en supposant que κl ≫ 1. Montrer que les deux états liés constituent un système à
deux niveaux dont le hamiltonien est
H =
E 0 −A
−AE 0