8. Mécanique ondulatoire
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avec
1
σ ′ 2 =
1
σ 2 +
it
m
et en déduire |ϕ(x, t)|
2
.M o n t r e rq u e
∆x
2 (t)=
1
2σ 2
1+
2 σ
4 t
2
m 2
Donner l’interprétation physique du résultat.
4. Un neutron sort d’un réacteur nucléaire avec une longueur d’onde de
0.1 nm. On suppose que sa fonction d’onde à t =0est un paquet d’ondes
gaussien de largeur ∆x = 1 nm. Au bout de combien de temps la largeur du
paquet d’ondes aura-t-elle doublé ? Quelle distance aura parcouru le neutron ?
8.6.4 Heuristique de l’inégalité de Heisenberg
1. Si l’électron émis dans la désintégration β du neutron
n → p + e
− + ν e
était initialement enfermé dans le neutron dont le rayon ≃ 0.5 fm, quelle serait
son énergie cinétique ? Quelle conclusion peut-on en tirer ?
2. Une particule quantique de masse m se déplace sur l’axe des x dans le
potentiel harmonique
V (x)=
1
2
mω
2 x
2
Utiliser l’inégalité de Heisenberg pour estimer l’énergie de son état fondamental.
8.6.5 Potentiel de Lennard-Jones pour l’hélium
1. L’énergie potentielle de deux atomes séparés par une distance r est
souvent bien représentée par le potentiel de Lennard-Jones
V (r)=ε
σ
r
12
− 2
σ
r
6
où ε et σ sont des paramètres ayant respectivement les dimensions d’une
énergie et d’une longueur. Calculer la position r 0 du minimum du potentiel
et tracer qualitativement V (r). Montrer qu’au voisinage de r = r 0
V (r) ≃−ε
1 − 36
r − r 0
r 0
2
=
1
2
mω
2 (r − r 0 )
2 + V 0
2. Dans le cas de l’hélium, ε ≃ 10
−3
eV et r 0 ≃ 0.3 nm. Calculer la fréquence de vibration ω et l’énergie ω/2 du niveau fondamental. Pourquoi