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Physique quantique : Fondements
Montrer que
d
dt
X
2 (t)=
1
m
PX + XP
=
i
m
∞
−∞
dxx
ϕ
∂ϕ
∗
∂x
− ϕ
∗ ∂ϕ
∂x
Ces résultats sont-ils valables si le potentiel V (x) =0?
3. Montrer que si la particule est libre (V (x)=0)
d
2
dt 2 X
2 (t)=
2
m 2 P
2 =2v
2
1 =cste
4. Déduire de ces résultats
X
2 (t)=X
2 (t =0)+ξ 0 t + v
2
1 t
2
ξ 0 =
dX
2
dt
t=0
ainsi que l’expression de (∆x(t))
2
(∆x(t))
2 =(∆x(t =0))
2 +[ξ 0 − 2v 0 X(t =0)]t +(v
2
1 − v
2
0 )t
2
avec v 0 = P/m = cste.
8.6.3 Paquet d’ondes gaussien
1. On suppose que la fonction A(k) de (8.44) est une gaussienne
A(k)=
1
(πσ 2 ) 1/4 exp
−
(k − k)
2
2σ 2
Montrer que
|A(k)|
2
dk =1,
∆k =
1
√
2
σ
et que la fonction d’onde ϕ(x, t =0)vaut
ϕ(x, t =0)=
σ
1/2
π 1/4 exp
ikx −
1
2
σ
2 x
2
Tracer la courbe représentative de |ϕ(x, t =0)|
2
. Quelle est la largeur de cette
courbe ? Identifier la dispersion ∆x et vérifier que ∆x ∆k =1/2.
2. Calculer ϕ(x, t).M o n t r e rq u es iσ
2 t/m ≪ 1,o na
ϕ(x, t)=exp
ik
2
2m
t
ϕ(x − v g t, 0)
v g =
k
m
3. Calculer exactement ϕ(x, t)
ϕ(x, t)=
1
πσ 2
1/4
σ
′ exp
ikx − iω(k)t −
1
2
σ
′ 2 (x − v g t)
2