8. Mécanique ondulatoire
285
car il n’est pas a priori valable quel que soit t. On peut cependant justifer
la loi exponentielle (8.153) pour des temps longs, grâce à une méthode due à
Wigner et Weisskopf décrite dans l’appendice B. Cette méthode montre que la
dispersion en énergie ∆E sur l’énergie E f des états finaux est ∆E = /2τ =
Γ/2.
8.6 Exercices
8.6.1 Inégalités de Heisenberg
1. Soit ϕ(x), une fonction de carré sommable normalisée à l’unité et I(α),
la quantité positive ou nulle
I(α)=
∞
−∞
dx
xϕ(x)+α
dϕ
dx
2
≥ 0
α étant un nombre réel. En intégrant par parties, montrer que
I(α)=X
2 −α + α
2 K
2
où K = −id/dx et
X
2 =
∞
−∞
dxx
2 |ϕ(x)|
2
K
2 = −
∞
−∞
dxϕ
∗ (x)
d
2 ϕ
dx 2
En déduire
X
2 K
2 ≥
1
4
2. Comment faut-il modifier le raisonnement de la question précédente
pour obtenir l’inégalité de Heisenberg
∆x ∆k ≥
1
2
?
Montrer que ∆x ∆k =1/2 implique que ϕ(x) est une gaussienne
ϕ(x) ∝ exp
−
1
2
σ
2 x
2
.
8.6.2 Étalement du paquet d’ondes
1. Montrer que [P
2 ,X]=−2i P
2. Soit X
2 (t) la position quadratique moyenne dans l’état |ϕ(t)
X
2 (t)=ϕ(t)|X
2 |ϕ(t)