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Physique quantique : Fondements
isotrope, et dépend par exemple de la direction de l’impulsion
p de la particule
finale, on utilisera
D(E)=
Vm
2π 2 3 (2mE)
1/2 dΩ
4π
où Ω repère la direction de
p. Compte tenu de (8.150) et (8.151), nous obtenons
une probabilité de transition par unité de temps Γ
Γ=
1
2
dE |A fi |
2 D(E) t
sin
2 [(ω − ω 0 )t/2]
[(ω − ω 0 )t/2] 2
≃
1
dE |A fi |
2 D(E)2πδ(E − (E i + ω))
En effectuant l’intégrale, on obtient la règle d’or de Fermi
Γ=
2π
|A fi |
2 D(E f )
E f = E i + ω
(8.152)
Cette équation est aussi valable dans le cas d’émission d’énergie, en prenant
E f = E i − ω, et aussi pour un potentiel W constant, avec E f = E i (exercice 8.6.11).
Les conditions de validité du calcul sont les suivantes.
• Il est nécessaire que la probabilité de trouver le système dans l’état
initial (i) soit proche de un, soit
f =i
p i→f (t) ≪ 1o u , en termes de Γ i→f :
f =i
Γ i→f
t ≪ 1
ce qui implique que t doit être suffisamment court : t ≪ τ 2 .
• Dans l’intégrale sur l’énergie E, on doit pouvoir remplacer f (ω−
(E − E i )/; t) par une fonction delta
dEg(E)f
ω −
E − E i
; t
→
dωg(E)
2π
t
δ(E − ω 0 )=
2π
t
g(E f )
Si ∆E 1 est l’intervalle caractéristique de variation de g(E)=
|A fi |
2 D(E), τ 1 = /∆E 1 doit être petit par rapport à t : t ≫ τ 1 .
En résumé, il faut que t vérifie l’encadrement τ 1 ≪ t ≪ τ 2 .
Une application importante de la règle d’or de Fermi est la désintégration d’un état instable i (état excité d’un atome ou d’un noyau, particule
instable...) vers un continuum d’états f . La perturbation est alors indépendante du temps et E f ≃ E i dans (8.152). Pour des temps suffisamment courts,
la probabilité de trouver le système dans l’état initial instable i est
p ii (t)=1− Γt ≃ e
−Γt
t ≪ τ 2
(8.153)
et il est tentant d’identifier Γ à l’inverse de la vie moyenne τ : Γ=/τ.L e
calcul que nous venons d’effectuer ne nous permet pas cette identification,
Physique quantique : Fondements
isotrope, et dépend par exemple de la direction de l’impulsion
p de la particule
finale, on utilisera
D(E)=
Vm
2π 2 3 (2mE)
1/2 dΩ
4π
où Ω repère la direction de
p. Compte tenu de (8.150) et (8.151), nous obtenons
une probabilité de transition par unité de temps Γ
Γ=
1
2
dE |A fi |
2 D(E) t
sin
2 [(ω − ω 0 )t/2]
[(ω − ω 0 )t/2] 2
≃
1
dE |A fi |
2 D(E)2πδ(E − (E i + ω))
En effectuant l’intégrale, on obtient la règle d’or de Fermi
Γ=
2π
|A fi |
2 D(E f )
E f = E i + ω
(8.152)
Cette équation est aussi valable dans le cas d’émission d’énergie, en prenant
E f = E i − ω, et aussi pour un potentiel W constant, avec E f = E i (exercice 8.6.11).
Les conditions de validité du calcul sont les suivantes.
• Il est nécessaire que la probabilité de trouver le système dans l’état
initial (i) soit proche de un, soit
f =i
p i→f (t) ≪ 1o u , en termes de Γ i→f :
f =i
Γ i→f
t ≪ 1
ce qui implique que t doit être suffisamment court : t ≪ τ 2 .
• Dans l’intégrale sur l’énergie E, on doit pouvoir remplacer f (ω−
(E − E i )/; t) par une fonction delta
dEg(E)f
ω −
E − E i
; t
→
dωg(E)
2π
t
δ(E − ω 0 )=
2π
t
g(E f )
Si ∆E 1 est l’intervalle caractéristique de variation de g(E)=
|A fi |
2 D(E), τ 1 = /∆E 1 doit être petit par rapport à t : t ≫ τ 1 .
En résumé, il faut que t vérifie l’encadrement τ 1 ≪ t ≪ τ 2 .
Une application importante de la règle d’or de Fermi est la désintégration d’un état instable i (état excité d’un atome ou d’un noyau, particule
instable...) vers un continuum d’états f . La perturbation est alors indépendante du temps et E f ≃ E i dans (8.152). Pour des temps suffisamment courts,
la probabilité de trouver le système dans l’état initial instable i est
p ii (t)=1− Γt ≃ e
−Γt
t ≪ τ 2
(8.153)
et il est tentant d’identifier Γ à l’inverse de la vie moyenne τ : Γ=/τ.L e
calcul que nous venons d’effectuer ne nous permet pas cette identification,