8. Mécanique ondulatoire
283
avec ω 0 = ω fi =(E f − E i )/. Cette équation différentielle s’intègre immédiatement car les coefficients A fi = f |A|i sont indépendants du temps
γ
(1)
f (t)=
1
A fi
e
−i(ω−ω0)t − 1
ω − ω 0
− A
∗
if
e
i(ω+ω0)t − 1
ω + ω 0
(8.149)
Cette amplitude de probabilité sera importante si ω ≃± ω 0 , c’est-à-dire,
comme au chapitre 5, à la résonance. Dans le cas ω ≃ ω 0 ,
E f ≃ E i + ω
et le système absorbe une énergie ω : s’il s’agit de l’interaction avec une onde
électromagnétique, il absorbe un photon d’énergie ω. Dans le cas ω ≃−ω 0 ,
E f ≃ E i − ω
et le système fournit une énergie ω, par exemple en émettant un photon
22
d’énergie ω. Pour fixer les idées, examinons le premier cas. La probabilité de
transition p i→f (t) vaut
p i→f (t)=|γ
(1)
f (t)|
2 =
1
2 |A fi |
2 t
2 f (ω − ω 0 ; t)
(8.150)
où la fonction f a été définie en (5.66)
f (ω − ω 0 ; t)=
sin
2 [(ω − ω 0 )t/2]
[(ω − ω 0 )t/2] 2 ≃
2π
t
δ(ω − ω 0 )
(8.151)
On retrouve les résultats du § 5.3.3 dans un cas plus général. Compte tenu des
approximations, une condition nécessaire pour la validité de (8.150) est que
p i→f (t) ≪ 1. Cependant, il est en général impossible d’isoler une transition
vers un état f particulier, et on s’intéresse le plus souvent à une transition vers
un ensemble d’états finaux d’énergie voisine, transition à laquelle correspond
une probabilité par unité de temps Γ
Γ=
f
Γ i→f
La sommation sur f est équivalente à une intégration sur l’énergie si l’on tient
compte de la densité de niveaux D(E)
f
→
dE D(E)
Par exemple, si l’état final correspond à celui d’une particule et si |A fi |
2
est isotrope, la densité de niveaux sera donnée par (8.136). Si |A fi |
2 n’est pas
22. Voir, cependant, la mise en garde de la note 27 du chapitre 1.