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Physique quantique : Fondements
avec
W nl (t)=n|W (t)|l
ω nl =
E n − E l
(8.145)
Ces équations sont exactes, mais ne sont pas solubles analytiquement, sauf
cas particulier. Il faut avoir recours à des approximations : nous allons suivre
une méthode appelée la théorie des perturbations dépendant du temps.I le s t
commode d’introduire un paramètre réel λ, 0 ≤ λ ≤ 1, qui multiplie la perturbation W : W → λW , ce qui permet de faire varier artificiellement la
perturbation
20
. La théorie des pertubations consiste à obtenir une solution
approchée de l’équation de Schrödinger sous forme d’un développement en
puissances de λ et on rétablit λ =1à la fin des calculs. Dans ce qui suit, nous
allons nous contenter du premier ordre
21
en λ.A ut em p st =0,lesystèmeest
supposé dans l’état |i
γ n (0) = δ ni
Écrivons
γ n (t)=δ ni + γ
(1)
n (t)
Lorsque t est suffisamment petit, |γ
(1)
n (t)|≪1 car le système n’a pas eu le
temps d’évoluer de façon appréciable. L’équation (8.145) devient en introduisant le paramètre λ
i
d
dt
δ ni + γ
(1)
n (t)
=
l
λW nl (t)
δ li + γ
(1)
l (t)
e
i ω nl t
On observe que γ
(1)
l (t) est d’ordre λ,e tq u el et e r m e
l λW nl (t)γ
(1)
l (t) sera
donc d’ordre λ
2 . Ce terme est négligeableaupremierordreenλ, ce qui donne
en rétablissant λ =1
i ˙
γ
(1)
n (t) ≃ W ni (t) e
i ωni t
(8.146)
Un cas particulier important est celui du potentiel oscillant
W (t)=A e
−i ωt + A
† e
i ωt
(8.147)
où A est un opérateur. C’est par exemple ce type de potentiel qui décrit
l’interaction d’un atome avec un champ électromagnétique oscillant
E(t)=E 0 e
−i ωt + E
∗
0 e
i ωt
Si nous nous intéressons comme au chapitre 5 à la transition i → f vers un
niveau final |f bien déterminé, l’amplitude de probabilité f |ψ(t) est donnée
à un facteur de phase près par γ f (t) ≃ γ
(1)
f (t) qui est solution de l’équation
différentielle (8.146)
i ˙
γ
(1)
f (t)=A fi e
−i(ω−ω0)t + A
∗
if e
i(ω+ω0)t
(8.148)
20. Si la perturbation est due à l’interaction avec un champ extérieur, on peut la faire
varier en ajustant ce champ.
21. La complexité des formules augmente très rapidement avec la puissance de λ.
Physique quantique : Fondements
avec
W nl (t)=n|W (t)|l
ω nl =
E n − E l
(8.145)
Ces équations sont exactes, mais ne sont pas solubles analytiquement, sauf
cas particulier. Il faut avoir recours à des approximations : nous allons suivre
une méthode appelée la théorie des perturbations dépendant du temps.I le s t
commode d’introduire un paramètre réel λ, 0 ≤ λ ≤ 1, qui multiplie la perturbation W : W → λW , ce qui permet de faire varier artificiellement la
perturbation
20
. La théorie des pertubations consiste à obtenir une solution
approchée de l’équation de Schrödinger sous forme d’un développement en
puissances de λ et on rétablit λ =1à la fin des calculs. Dans ce qui suit, nous
allons nous contenter du premier ordre
21
en λ.A ut em p st =0,lesystèmeest
supposé dans l’état |i
γ n (0) = δ ni
Écrivons
γ n (t)=δ ni + γ
(1)
n (t)
Lorsque t est suffisamment petit, |γ
(1)
n (t)|≪1 car le système n’a pas eu le
temps d’évoluer de façon appréciable. L’équation (8.145) devient en introduisant le paramètre λ
i
d
dt
δ ni + γ
(1)
n (t)
=
l
λW nl (t)
δ li + γ
(1)
l (t)
e
i ω nl t
On observe que γ
(1)
l (t) est d’ordre λ,e tq u el et e r m e
l λW nl (t)γ
(1)
l (t) sera
donc d’ordre λ
2 . Ce terme est négligeableaupremierordreenλ, ce qui donne
en rétablissant λ =1
i ˙
γ
(1)
n (t) ≃ W ni (t) e
i ωni t
(8.146)
Un cas particulier important est celui du potentiel oscillant
W (t)=A e
−i ωt + A
† e
i ωt
(8.147)
où A est un opérateur. C’est par exemple ce type de potentiel qui décrit
l’interaction d’un atome avec un champ électromagnétique oscillant
E(t)=E 0 e
−i ωt + E
∗
0 e
i ωt
Si nous nous intéressons comme au chapitre 5 à la transition i → f vers un
niveau final |f bien déterminé, l’amplitude de probabilité f |ψ(t) est donnée
à un facteur de phase près par γ f (t) ≃ γ
(1)
f (t) qui est solution de l’équation
différentielle (8.146)
i ˙
γ
(1)
f (t)=A fi e
−i(ω−ω0)t + A
∗
if e
i(ω+ω0)t
(8.148)
20. Si la perturbation est due à l’interaction avec un champ extérieur, on peut la faire
varier en ajustant ce champ.
21. La complexité des formules augmente très rapidement avec la puissance de λ.