8. Mécanique ondulatoire
281
8.5.3 Règle d’or de Fermi
La notion de densité de niveaux va nous permettre de montrer une des formules les plus importantes de la physique quantique, la r è g l ed ’ o rd eF e r m i ,
qui permet de calculer les probabilités de transition vers les états de diffusion, aussi appelés états du continu, car appartenant au spectre continu d’un
hamiltonien, dans le cas présent le hamiltonien H 0 (8.138). Considérons un
système physique régi par le hamiltonien H(t) dépendant du temps
H(t)=H 0 + W (t)
(8.138)
où H 0 est indépendant du temps et de spectre supposé connu : les valeurs
propres de l’énergie sont E n et les vecteurs propres |n
H 0 |n = E n |n
(8.139)
Nous nous proposons de résoudre le problème suivant : au temps t =0 ,l e
système est dans l’état initial |ψ(0) = |i,é t a tp r o p r ed eH 0 d’énergie E i ,
et nous voulons calculer la probabilité p i→f (t) de le trouver au temps t dans
l’état propre |f de H 0 d’énergie E f . Pour ce faire, nous devons obtenir le
vecteur d’état |ψ(t) du système au temps t, puisque
p i→f (t)=||f |ψ(t)|
2 avec |ψ(t =0) = |i
(8.140)
Nous avons déjà rencontré ce problème dans un cas simple : nous avons calculé dans la section 5.3 la probabilité de transition d’un niveau à l’autre de la
molécule d’ammoniac plongée dans un champ électromagnétique oscillant. Le
hamiltonien (8.138) généralise (5.54), H 0 étant l’analogue de (5.55). Nous suivrons la méthode du § 5.3.3 en l’adaptant à un nombre de niveaux quelconque.
Comme au § 5.3.3, il est commode de passer dans le point de vue de l’interaction, et suivant (4.44), de définir le vecteur d’état | ˜
ψ(t) et l’interaction ˜
W (t)
dans ce point de vue
| ˜
ψ(t) = e
iH0t |ψ(t)
˜
W (t)=e
iH0t W (t) e
−iH0t
(8.141)
Soit γ n (t) les composantes de | ˜
ψ(t) dans la base |n
| ˜
ψ(t) =
n
γ n (t) |n
(8.142)
L’équation d’évolution
i
d| ˜
ψ(t)
dt
= ˜
W (t)| ˜
ψ(t)
(8.143)
s’écrit en terme des composantes γ n (t). Compte tenu des équations (8.141) à
(8.143), on obtient pour les coefficients γ n le système d’équations différentielles
i ˙
γ n (t)=
l
n| ˜
W (t)|lγ l (t)=
l
n|W (t)|le
i(En−E l )t/ γ l (t)
=
l
W nl (t) e
i ω nl t γ l (t)
(8.144)
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8.5.3 Règle d’or de Fermi
La notion de densité de niveaux va nous permettre de montrer une des formules les plus importantes de la physique quantique, la r è g l ed ’ o rd eF e r m i ,
qui permet de calculer les probabilités de transition vers les états de diffusion, aussi appelés états du continu, car appartenant au spectre continu d’un
hamiltonien, dans le cas présent le hamiltonien H 0 (8.138). Considérons un
système physique régi par le hamiltonien H(t) dépendant du temps
H(t)=H 0 + W (t)
(8.138)
où H 0 est indépendant du temps et de spectre supposé connu : les valeurs
propres de l’énergie sont E n et les vecteurs propres |n
H 0 |n = E n |n
(8.139)
Nous nous proposons de résoudre le problème suivant : au temps t =0 ,l e
système est dans l’état initial |ψ(0) = |i,é t a tp r o p r ed eH 0 d’énergie E i ,
et nous voulons calculer la probabilité p i→f (t) de le trouver au temps t dans
l’état propre |f de H 0 d’énergie E f . Pour ce faire, nous devons obtenir le
vecteur d’état |ψ(t) du système au temps t, puisque
p i→f (t)=||f |ψ(t)|
2 avec |ψ(t =0) = |i
(8.140)
Nous avons déjà rencontré ce problème dans un cas simple : nous avons calculé dans la section 5.3 la probabilité de transition d’un niveau à l’autre de la
molécule d’ammoniac plongée dans un champ électromagnétique oscillant. Le
hamiltonien (8.138) généralise (5.54), H 0 étant l’analogue de (5.55). Nous suivrons la méthode du § 5.3.3 en l’adaptant à un nombre de niveaux quelconque.
Comme au § 5.3.3, il est commode de passer dans le point de vue de l’interaction, et suivant (4.44), de définir le vecteur d’état | ˜
ψ(t) et l’interaction ˜
W (t)
dans ce point de vue
| ˜
ψ(t) = e
iH0t |ψ(t)
˜
W (t)=e
iH0t W (t) e
−iH0t
(8.141)
Soit γ n (t) les composantes de | ˜
ψ(t) dans la base |n
| ˜
ψ(t) =
n
γ n (t) |n
(8.142)
L’équation d’évolution
i
d| ˜
ψ(t)
dt
= ˜
W (t)| ˜
ψ(t)
(8.143)
s’écrit en terme des composantes γ n (t). Compte tenu des équations (8.141) à
(8.143), on obtient pour les coefficients γ n le système d’équations différentielles
i ˙
γ n (t)=
l
n| ˜
W (t)|lγ l (t)=
l
n|W (t)|le
i(En−E l )t/ γ l (t)
=
l
W nl (t) e
i ω nl t γ l (t)
(8.144)