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Physique quantique : Fondements
Ce résultat est fondamental. On en déduit la densité de niveaux par unité
d’énergie
19
; comme D( p) dépend seulement de p = | p|
D(p)=
4π V
(2π) 3 p
2 =
V
2π 2 3 p
2
(8.135)
La densité de niveaux par unité d’énergie D(E) est
D(E)=
V
2π 2 3 p
2 dp
dE
=
V
2π 2 3 mp
ou
D(E)=
Vm
2π 2 3 (2mE)
1/2
(8.136)
Le nombre de niveaux dans [E, E + dE] est D(E)dE. On peut également calculer D(E) àpartirdeΦ(E), qui est le nombre de niveaux d’énergie inférieure
à E : D(E)=Φ
′ (E) (exercice 8.6.10). La quantité D/V est la densité de
niveaux par unité de volume, qui est indépendante du volume.
En remarquant que V =
V
d
3 r, on déduit de (8.134) que le nombre de
niveaux dans d
3 r d
3 p est
dN =
d
3 r d
3 p
(2π) 3 =
d
3 r d
3 p
h 3
(8.137)
d
3 r d
3 p est un volume infinitésimal de l’espace de phase ( r, ,
p).O np e u ti n -
terpréter (8.137) de la façon suivante : le volume élémentaire de l’espace de
phase est h
3 , dans le sens où l’on peut placer un niveau d’énergie par volume
élémentaire. L’inégalité de Heisenberg permet de le comprendre : si une particule est confinée dans un intervalle ∆x, son impulsion p ∼ h/∆x.C er é s u l t a t
s’exprime sous forme imagée : alors qu’une particule classique dont l’état est
défini par sa position r et son impulsion
p occupe un point ( r, ,
p ) dans l’espace
de phase, une particule quantique doit occuper au minimum un volume ∼ h
3
.
Les résultats (8.134) ou (8.136) sont d’une importance capitale en mécanique statistique quantique : la probabilité qu’un système à l’équilibre thermique ait une énergie E (voir (1.12) et la note 16 du chapitre 1) est
p(E)=ND(E) e
−βE
où N est une constante de normalisation fixée par
dE p(E)=1
19. Avec des conditions d’annulation de la fonction d’onde, il s’introduirait un facteur
1/8 dans (8.133) pour tenir compte du fait que les composantes de k sont positives. Le
résultat final serait toutefois identique, à cause du facteur 1/2 de différence entre (8.125)
et (8.127) : (1/2) 3 =1 /8.
Physique quantique : Fondements
Ce résultat est fondamental. On en déduit la densité de niveaux par unité
d’énergie
19
; comme D( p) dépend seulement de p = | p|
D(p)=
4π V
(2π) 3 p
2 =
V
2π 2 3 p
2
(8.135)
La densité de niveaux par unité d’énergie D(E) est
D(E)=
V
2π 2 3 p
2 dp
dE
=
V
2π 2 3 mp
ou
D(E)=
Vm
2π 2 3 (2mE)
1/2
(8.136)
Le nombre de niveaux dans [E, E + dE] est D(E)dE. On peut également calculer D(E) àpartirdeΦ(E), qui est le nombre de niveaux d’énergie inférieure
à E : D(E)=Φ
′ (E) (exercice 8.6.10). La quantité D/V est la densité de
niveaux par unité de volume, qui est indépendante du volume.
En remarquant que V =
V
d
3 r, on déduit de (8.134) que le nombre de
niveaux dans d
3 r d
3 p est
dN =
d
3 r d
3 p
(2π) 3 =
d
3 r d
3 p
h 3
(8.137)
d
3 r d
3 p est un volume infinitésimal de l’espace de phase ( r, ,
p).O np e u ti n -
terpréter (8.137) de la façon suivante : le volume élémentaire de l’espace de
phase est h
3 , dans le sens où l’on peut placer un niveau d’énergie par volume
élémentaire. L’inégalité de Heisenberg permet de le comprendre : si une particule est confinée dans un intervalle ∆x, son impulsion p ∼ h/∆x.C er é s u l t a t
s’exprime sous forme imagée : alors qu’une particule classique dont l’état est
défini par sa position r et son impulsion
p occupe un point ( r, ,
p ) dans l’espace
de phase, une particule quantique doit occuper au minimum un volume ∼ h
3
.
Les résultats (8.134) ou (8.136) sont d’une importance capitale en mécanique statistique quantique : la probabilité qu’un système à l’équilibre thermique ait une énergie E (voir (1.12) et la note 16 du chapitre 1) est
p(E)=ND(E) e
−βE
où N est une constante de normalisation fixée par
dE p(E)=1
19. Avec des conditions d’annulation de la fonction d’onde, il s’introduirait un facteur
1/8 dans (8.133) pour tenir compte du fait que les composantes de k sont positives. Le
résultat final serait toutefois identique, à cause du facteur 1/2 de différence entre (8.125)
et (8.127) : (1/2) 3 =1 /8.