8. Mécanique ondulatoire
279
Ces fonctions d’onde sont de la forme
ϕ [nx,ny,nz] (x, y, z)=
8
L x L y L z
sin
π(n x +1)x
L x
sin
π(n y +1)y
L y
× sin
π(n z +1)z
L z
(8.129)
avec (n x ,n y ,n z )=0, 1, 2,... Les valeurs correspondantes de l’énergie sont
E(n x ,n y ,n z )=
2 π
2
2m
(n x +1)
2
L 2
x
+
(n y +1)
2
L 2
y
+
(n z +1)
2
L 2
z
(8.130)
Lorsque L x = L y = L z = L, ces valeurs propres sont en général dégénérées
(exercice 8.6.8).
Effectuons le décompte des niveaux à trois dimensions. Il sera commode
d’utiliser des conditions aux limites périodiques
ϕ(x, y, z)=ϕ(x + L x ,y+ L y ,z + L z )
(8.131)
Soit ∆K l’élément de volume ∆k x ∆k y ∆k z de l’espace des k, tel que l’extrémité
du vecteur d’onde k se trouve dans ∆K : les composantes (x, y, z) de ce vecteur
sont comprises dans les intervalles
[k x ,k x +∆k x ], [k y ,k y +∆k y ], [k z ,k z +∆k z ]
Le nombre de niveaux d’énergie dans ∆K s’obtient en généralisant (8.127)
∆n =
L x
2π
∆k x
L y
2π
∆k y
L z
2π
∆k z =
L x L y L z
(2π) 3 ∆K
(8.132)
Prenant ∆K infinitésimal, ∆K = d
3 k, on définit la d e n s i t éd en i v e a u x( o u
densité d’états) D( k) dans l’espace des k comme suit : D( k)d
3 k est le nombre
de niveaux dans le volume d
3 k centré en k. D’après (8.132),
D( k)d
3 k =
V
(2π) 3 d
3 k
(8.133)
où V = L x L y L z e s tl ev o l u m ed el ab o î t ed ec ô t é s(L x ,L y ,L z )
17 .C o m p t e
tenu de
p = k, la densité de niveaux
18 dans l’espace des
p est
D( p)=
V
(2π) 3 =
V
h 3
(8.134)
17. Le résultat est aussi valable pour une boîte qui n’est pas un parallélépipède. Les
termes correctifs sont en puissances de (kL) −1 ,o ùL est une dimension caractéristique de
la boîte. Le premier terme correctif représente un terme de surface. La différence entre
conditions aux limites périodiques et conditions d’annulation, qui est un effet de surface,
se traduit aussi par ce type de correction. Ces corrections sont négligeables dans une boîte
suffisamment grande.
18. En toute rigueur, nous devrions utiliser une notation différente pour les différentes
densités de niveaux ; nous avons utilisé la même lettre D dans tous les cas afin de ne pas
multiplier à l’excès les notations.
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Ces fonctions d’onde sont de la forme
ϕ [nx,ny,nz] (x, y, z)=
8
L x L y L z
sin
π(n x +1)x
L x
sin
π(n y +1)y
L y
× sin
π(n z +1)z
L z
(8.129)
avec (n x ,n y ,n z )=0, 1, 2,... Les valeurs correspondantes de l’énergie sont
E(n x ,n y ,n z )=
2 π
2
2m
(n x +1)
2
L 2
x
+
(n y +1)
2
L 2
y
+
(n z +1)
2
L 2
z
(8.130)
Lorsque L x = L y = L z = L, ces valeurs propres sont en général dégénérées
(exercice 8.6.8).
Effectuons le décompte des niveaux à trois dimensions. Il sera commode
d’utiliser des conditions aux limites périodiques
ϕ(x, y, z)=ϕ(x + L x ,y+ L y ,z + L z )
(8.131)
Soit ∆K l’élément de volume ∆k x ∆k y ∆k z de l’espace des k, tel que l’extrémité
du vecteur d’onde k se trouve dans ∆K : les composantes (x, y, z) de ce vecteur
sont comprises dans les intervalles
[k x ,k x +∆k x ], [k y ,k y +∆k y ], [k z ,k z +∆k z ]
Le nombre de niveaux d’énergie dans ∆K s’obtient en généralisant (8.127)
∆n =
L x
2π
∆k x
L y
2π
∆k y
L z
2π
∆k z =
L x L y L z
(2π) 3 ∆K
(8.132)
Prenant ∆K infinitésimal, ∆K = d
3 k, on définit la d e n s i t éd en i v e a u x( o u
densité d’états) D( k) dans l’espace des k comme suit : D( k)d
3 k est le nombre
de niveaux dans le volume d
3 k centré en k. D’après (8.132),
D( k)d
3 k =
V
(2π) 3 d
3 k
(8.133)
où V = L x L y L z e s tl ev o l u m ed el ab o î t ed ec ô t é s(L x ,L y ,L z )
17 .C o m p t e
tenu de
p = k, la densité de niveaux
18 dans l’espace des
p est
D( p)=
V
(2π) 3 =
V
h 3
(8.134)
17. Le résultat est aussi valable pour une boîte qui n’est pas un parallélépipède. Les
termes correctifs sont en puissances de (kL) −1 ,o ùL est une dimension caractéristique de
la boîte. Le premier terme correctif représente un terme de surface. La différence entre
conditions aux limites périodiques et conditions d’annulation, qui est un effet de surface,
se traduit aussi par ce type de correction. Ces corrections sont négligeables dans une boîte
suffisamment grande.
18. En toute rigueur, nous devrions utiliser une notation différente pour les différentes
densités de niveaux ; nous avons utilisé la même lettre D dans tous les cas afin de ne pas
multiplier à l’excès les notations.