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Physique quantique : Fondements
8.5.2 Espace de phase et densité de niveaux
Dans de nombreux problèmes, il est nécessaire de savoir compter le nombre
de niveaux d’énergie dans une certaine région de l’espace ( r, ,
p) : cet espace est
appelé espace de phase. Revenons au puits infini du § 8.3.3 en appelant L x la
largeur du puits. Les niveaux d’énergie sont étiquetés par un entier positif n,
et nous allons nous intéresser au cas où n ≫ 1 et où L x est grand : les niveaux
d’énergie (8.76) sont alors très resserrés et on pourra remplacer les sommes sur
n par des intégrales. Soit un vecteur d’onde (8.75) k n = π(n+1)/L x .Calculons
le nombre de niveaux d’énergie dans l’intervalle en k : [k n ,k n +∆k].D ’ a p r è s
(8.77) avec a → L x ,lenom bredeniv eaux∆n (1 ≪ ∆n ≪ n) dans l’intervalle
[k, k +∆k] est
∆n =
L x
π
∆k
(8.125)
Au lieu des conditions d’annulation de la fonction d’onde aux points x =0
et x = L x , il est souvent plus commode de choisir des conditions aux limites
périodiques : ϕ(0) = ϕ(L x ), soit pour les fonctions d’onde
15
ϕ n (x)=
1
√
L x
e
iknx
k n =
2πn
L x
n = ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... (8.126)
et par conséquent
∆n =
L x
2π
∆k
(8.127)
À première vue, (8.127) diffère
16 de (8.125) par un facteur 1/2. Cependant,
nous avons déjà observé qu’avec les fonctions d’onde (8.77) les valeurs k n et
−k n correspondent au même état physique car la substitution k n →− k n
conduit à un simple changement de signe de la fonction d’onde. En revanche,
la substitution k n →−k n dans (8.126) conduit à un état physique différent : la
division par deux dans (8.127) est compensée par le doublement du nombre de
valeurs possibles de k n . Pour compter les niveaux d’énergie, il est équivalent
de choisir les conditions aux limites périodiques ou les conditions d’annulation
(voir aussi la note 17).
Passons au puits carré infini en dimension d =3: les fonctions d’onde
s’annulent en dehors des intervalles où V ( r)=0
0 ≤ x ≤ L x
0 ≤ y ≤ L y
0 ≤ z ≤ L z
(8.128)
15. Ce choix de fonction d’onde est parfois appelé “quantification dans une boîte”. Il évite
de travailler avec les ondes planes du spectre continu, puisque les “ondes planes” (8.126) sont
normalisables. Cependant, les intégrales de Fourier sont alors remplacées par des sommes
de Fourier, ce qui alourdit les calculs.
16. Comme n ≫ 1, on refait pas de différence entre n et (n +1).
Physique quantique : Fondements
8.5.2 Espace de phase et densité de niveaux
Dans de nombreux problèmes, il est nécessaire de savoir compter le nombre
de niveaux d’énergie dans une certaine région de l’espace ( r, ,
p) : cet espace est
appelé espace de phase. Revenons au puits infini du § 8.3.3 en appelant L x la
largeur du puits. Les niveaux d’énergie sont étiquetés par un entier positif n,
et nous allons nous intéresser au cas où n ≫ 1 et où L x est grand : les niveaux
d’énergie (8.76) sont alors très resserrés et on pourra remplacer les sommes sur
n par des intégrales. Soit un vecteur d’onde (8.75) k n = π(n+1)/L x .Calculons
le nombre de niveaux d’énergie dans l’intervalle en k : [k n ,k n +∆k].D ’ a p r è s
(8.77) avec a → L x ,lenom bredeniv eaux∆n (1 ≪ ∆n ≪ n) dans l’intervalle
[k, k +∆k] est
∆n =
L x
π
∆k
(8.125)
Au lieu des conditions d’annulation de la fonction d’onde aux points x =0
et x = L x , il est souvent plus commode de choisir des conditions aux limites
périodiques : ϕ(0) = ϕ(L x ), soit pour les fonctions d’onde
15
ϕ n (x)=
1
√
L x
e
iknx
k n =
2πn
L x
n = ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... (8.126)
et par conséquent
∆n =
L x
2π
∆k
(8.127)
À première vue, (8.127) diffère
16 de (8.125) par un facteur 1/2. Cependant,
nous avons déjà observé qu’avec les fonctions d’onde (8.77) les valeurs k n et
−k n correspondent au même état physique car la substitution k n →− k n
conduit à un simple changement de signe de la fonction d’onde. En revanche,
la substitution k n →−k n dans (8.126) conduit à un état physique différent : la
division par deux dans (8.127) est compensée par le doublement du nombre de
valeurs possibles de k n . Pour compter les niveaux d’énergie, il est équivalent
de choisir les conditions aux limites périodiques ou les conditions d’annulation
(voir aussi la note 17).
Passons au puits carré infini en dimension d =3: les fonctions d’onde
s’annulent en dehors des intervalles où V ( r)=0
0 ≤ x ≤ L x
0 ≤ y ≤ L y
0 ≤ z ≤ L z
(8.128)
15. Ce choix de fonction d’onde est parfois appelé “quantification dans une boîte”. Il évite
de travailler avec les ondes planes du spectre continu, puisque les “ondes planes” (8.126) sont
normalisables. Cependant, les intégrales de Fourier sont alors remplacées par des sommes
de Fourier, ce qui alourdit les calculs.
16. Comme n ≫ 1, on refait pas de différence entre n et (n +1).