8. Mécanique ondulatoire
277
• États propres | r de
R
R | r = r | r
(8.116)
• Relation de fermeture (cf. (8.9))
d
3 r | r r| = I
(8.117)
• Amplitude de probabilité ϕ( r) pour trouver une particule dans l’état
|ϕ au point r, ou fonction d’onde de la particule
ϕ( r)= r|ϕ
(8.118)
• Densité de probabilité de présence : |ϕ( r)|
2
d
3 r est la probabilité de
trouver la particule dans le volume d
3 r autour du point r.
• Action des opérateurs
R et
P sur ϕ( r) (cf. (8.14) et (8.16))
Rϕ
( r)= rϕ( r)
Pϕ
( r)=−i
∇ϕ( r)
(8.119)
• Transformée de Fourier
˜
ϕ( p)=
1
(2π) 3/2
d
3 rϕ( r) e
−i p· r/
(8.120)
On notera le facteur (2π)
−1/2
pour chaque dimension d’espace.
Nous avons établi au § 7.4.2 la forme générale du hamiltonien en dimension d =
3. Dans la suite de cette section, nous supposerons que
A est un gradient :
A =
∇Λ( r). Physiquement, cela veut dire qu’il n’y a pas de champ magnétique ;
le cas d’un champ magnétique non nul sera étudié dans la section 10.3. Le
hamiltonien (7.74) est simplement
H =
P
2
2m
+ V (
R)
(8.121)
L’équation de Schrödinger indépendante du temps
14
qui généralise (8.57) à
trois dimensions est
−
2
2m
∇
2 + V ( r)
ϕ( r)=Eϕ( r)
(8.122)
La généralisation du courant (8.63) est
j ( r, t)=Re
im
ϕ
∗ ( r, t)
∇ϕ( r, t)
(8.123)
qui vérifie l’équation de continuité (exercice 8.6.9)
∂|ϕ( r, t)|
2
∂t
+
∇· j ( r, t)=0
(8.124)
14. Nous laissons au lecteur le soin d’écrire l’équation de Schrödinger dépendant du
temps qui généralise (8.55) à trois dimensions.