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Physique quantique : Fondements
8.5 Mécanique ondulatoire en dimension d =3
8.5.1 Généralités
Soient
R et
P les opérateurs position et impulsion dans l’espace à trois
dimensions, de composantes
12 X j et P j , j = x, y, z. Rappelons les relations
de commutation canoniques (7.45)
[X j ,P k ]=i δ jk I
(8.111)
Les composantes de
R et de
P commutent si j = k. On peut donc construire
l’espace des états comme produit tensoriel des espaces L
(2)
x (R), L
(2)
y (R) et
L
(2)
z (R)
L
(2)
r (R
3 )=L
(2)
x (R) ⊗ L
(2)
y (R) ⊗ L
(2)
z (R)
(8.112)
Dans cet espace, la composante X de
R sera l’opérateur
X ⊗ I y ⊗ I z
Si ϕ n (x) est une base orthonormée de L
(2)
x (R), on construit une base
ϕ nlm (x, y, z) de L
(2)
r (R
3 ) en prenant les produits
13
ϕ nlm (x, y, z)=ϕ n (x)ϕ m (y)ϕ l (z)
(8.113)
La construction de l’espace des états et des bases orthonormées est strictement
parallèle à celle de l’espace des états de deux systèmes à deux niveaux. Nous
avons observé au § 2.4.2 que le vecteur d’état le plus général de l’espace
des états de systèmes à deux niveaux n’est pas en général le produit tensoriel
|ϕ 1 ⊗ ϕ 2 de deux vecteurs d’état systèmes individuels. De la même façon, une
fonction ψ(x, y, z) de L
(2)
r (R
3 ) n’est pas en général un produit ϕ(x)χ(y)η(z),
mais ψ(x, y, z) peut se décomposer sur la base (8.113)
ψ(x, y, z)=
n,m,l
c nml ϕ n (x)ϕ m (y)ϕ l (z)
(8.114)
c nlm =
d
3 rϕ
∗
n (x)ϕ
∗
m (y)ϕ
∗
l (z)ψ(x, y, z)
(8.115)
Il est immédiat d’écrire la généralisation à trois dimensions des formules de la
section 8.1. Nous nous contentons de donner quelques exemples, en laissant
au lecteur le soin d’établir les autres formules.
12. Les composantes de
R seront notées (X, Y, Z) et celles de r (x, y, z).
13. Pour la simplicité de l’écriture, nous avons pris les mêmes fonctions de base dans les
espaces (x, y, z), mais nous aurions bien sûr pu choisir trois bases différentes.