8. Mécanique ondulatoire
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q est la quasi-impulsion), ce qui donne la figure 8.13 où l’on distingue les
bandes permises indicées par s. Compte tenu de (8.98), on peut restreindre q
à l’intervalle [0, 2π/l], ou de façon équivalente à l’intervalle [−π/l, π/l],quiest
appelé première zone de Brillouin. Dans certaines régions, on peut exprimer
simplement E en fonction de q. Examinons par exemple la région k ≃ k 0 .
Comme cos ql =1pour k = k 0 , (8.108) devient, compte tenu de f (k 0 l)=1
O
−3π/λ
q
q
E
E
−2π/λ
(b)
(a)
O
2π/λ
π/λ
− π/λ
Fig. 8.13 – Bandes d’énergie : (a) q varie sans restrictions ; (b) q est limité à la
première zone de Brillouin. Les zones hachurées sont les bandes interdites.
−
1
2
q
2 l
2 ≃ (k − k 0 )lf
′ (k 0 l)
Ceci permet d’estimer (E − E 0 )
E − E 0 =
2
2m
(k
2 − k
2
0 ) ≃
2 k 0 (k − k 0 )
m
soit
E − E 0 =
2 lk 0
2m|f ′ (k 0 l)|
q
2 =
2
2m ∗ q
2
(8.109)
Au voisinage de k = k 0 , le comportement de l’énergie est celui d’une particule
de masse effective m
∗
m
∗ =
m|f
′ (k 0 l)|
lk 0
(8.110)
Cette masse effective joue un grand rôle dans la théorie de la conductibilité
électrique : en première approximation, l’effet du réseau cristallin se traduit
par un simple changement de la masse.