8. Mécanique ondulatoire
273
soit
e
iql
A n
B n
=
e
ikl A n+1
e −ikl B n+1
= D
A n+1
B n+1
= DM
−1
A n
B n
(8.104)
D est la matrice diagonale d’éléments D 11 =exp(ikl), D 22 =exp(−ikl) et
DM
−1 =
γ
∗
e
ikl
−δ e
ikl
−δ
∗
e
−ikl
γ e
−ikl
(8.105)
L’équation (8.104) implique que (A n ,B n ) est vecteur propre de la matrice
˜
M = DM
−1
avec la valeur propre exp(iql), qui est de module un. L’équation
aux valeurs propres λ pour la matrice ˜
M est (det ˜
M =1)
λ
2 − 2λRe (γ
∗ e
ikl )+1=0
et posant x =Re(γ
∗ exp( ikl)), les valeurs propres λ ± sont données par
λ ± = x ±
x 2 − 1
|x| > 1
λ ± = x ± i
1 − x 2
|x|≤1
Le cas |x| > 1 est exclu car les racines ne peuvent pas être de module un :
leur produit est égal à un et elles sont réelles. En revanche, les deux racines
complexes sont bien de module un pour |x|≤1 ; elles sont non dégénérées si
|x| < 1 et dégénérées si |x| =1.
Afin de simplifier au maximum les calculs, nous allons examiner un cas
limite, le créneau en fonction delta. Les résultats que nous obtiendrons se généralisent qualitativement à tout potentiel périodique. Le potentiel périodique
(8.95) est donc
V (x)=
∞
p=−∞
2 g
2m
δ(x − lp)
(8.106)
On montre dans l’exercice 8.6.7 que le coefficient γ de M vaut
γ =1+i
g
2k
(8.107)
On en déduit
x =Re(γ
∗ e
ikl )=coskl +
g
2k
sin kl
et l’équation aux valeurs propres s’écrit
x =cosql =coskl +
g
2k
sin kl
(8.108)
Notons que q n’est pas fixé de façon unique par (8.108) : q
′ = q +2πp/l avec p
entier vérifie aussi (8.108). Cette équation montre que certains intervalles en
k, et donc certaines zones d’énergie puisque E =
2 k
2 /(2m), sont exclus parce
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soit
e
iql
A n
B n
=
e
ikl A n+1
e −ikl B n+1
= D
A n+1
B n+1
= DM
−1
A n
B n
(8.104)
D est la matrice diagonale d’éléments D 11 =exp(ikl), D 22 =exp(−ikl) et
DM
−1 =
γ
∗
e
ikl
−δ e
ikl
−δ
∗
e
−ikl
γ e
−ikl
(8.105)
L’équation (8.104) implique que (A n ,B n ) est vecteur propre de la matrice
˜
M = DM
−1
avec la valeur propre exp(iql), qui est de module un. L’équation
aux valeurs propres λ pour la matrice ˜
M est (det ˜
M =1)
λ
2 − 2λRe (γ
∗ e
ikl )+1=0
et posant x =Re(γ
∗ exp( ikl)), les valeurs propres λ ± sont données par
λ ± = x ±
x 2 − 1
|x| > 1
λ ± = x ± i
1 − x 2
|x|≤1
Le cas |x| > 1 est exclu car les racines ne peuvent pas être de module un :
leur produit est égal à un et elles sont réelles. En revanche, les deux racines
complexes sont bien de module un pour |x|≤1 ; elles sont non dégénérées si
|x| < 1 et dégénérées si |x| =1.
Afin de simplifier au maximum les calculs, nous allons examiner un cas
limite, le créneau en fonction delta. Les résultats que nous obtiendrons se généralisent qualitativement à tout potentiel périodique. Le potentiel périodique
(8.95) est donc
V (x)=
∞
p=−∞
2 g
2m
δ(x − lp)
(8.106)
On montre dans l’exercice 8.6.7 que le coefficient γ de M vaut
γ =1+i
g
2k
(8.107)
On en déduit
x =Re(γ
∗ e
ikl )=coskl +
g
2k
sin kl
et l’équation aux valeurs propres s’écrit
x =cosql =coskl +
g
2k
sin kl
(8.108)
Notons que q n’est pas fixé de façon unique par (8.108) : q
′ = q +2πp/l avec p
entier vérifie aussi (8.108). Cette équation montre que certains intervalles en
k, et donc certaines zones d’énergie puisque E =
2 k
2 /(2m), sont exclus parce