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Physique quantique : Fondements
La fonction d’onde dans un potentiel périodique s’obtient en résolvant (8.101)
par exemple dans l’intervalle [0,l] avec la condition aux limites u sq (0) = u sq (l).
La quantité q a les dimensions d’une impulsion et présente effectivement certaines analogies avec une impulsion. Cependant, il ne s’agit pas d’une impulsion véritable, ne serait-ce que parce que suivant (8.98), q n’est pas unique :
on appelle q une quasi-impulsion. On remarque enfin que si le potentiel est
pair, V (x)=V (−x), l’équation (8.101) est inchangée dans les transformations
simultanées x →− x, q →− q ; u s,−q (x) est donc solution de (8.101) avec la
même valeur de l’énergie, E sq = E s,−q , et tous les niveaux sont doublement
dégénérés.
8.4.2 Bandes d’énergie
Examinons maintenant les propriétés des solutions de l’équation de Schrödinger (8.101) dans le potentiel périodique de la figure 8.11 : V (x) est une
suite de créneaux, et V (x) est non nul dans des intervalles centrés autour de
x = pl, p = ...,−2, −1, 0, 1, 2 ... et s’annule dans les intervalles
11
p −
1
2
l − ∆x ≤ x ≤
p −
1
2
l +∆x
(8.102)
Dans les intervalles (8.102) où V (x) s’annule, une solution ϕ(x) de l’équation de Schrödinger est une superposition d’ondes planes de vecteur d’onde
±k, k =(2mE/
2 )
1/2 . À gauche du créneau n et dans l’intervalle (8.102) pour
p = n, ϕ(x) s’écrit
ϕ(x)=A n e
ikx + B n e
−ikx
et à droite de ce créneau, dans l’intervalle (8.102) avec p = n +1
ϕ(x)=A n+1 e
ikx + B n+1 e
−ikx
Les coefficients (A n ,B n ) sont reliés aux coefficients (A n+1 ,B n+1 ) suivant
(8.90) par la matrice de passage M (8.92) correspondant au créneau V (x)
A n
B n
=
γδ
δ
∗
γ
∗
A n+1
B n+1
(8.103)
D’autre part, compte tenu du théorème de Bloch (8.100)
ϕ(x + l)=e
iql ϕ(x)
et nous avons
A n+1 e
ikl e
ikx + B n+1 e
−ikl e
−ikx = e
iql
A n e
ikx + B n e
−ikx
11. En fait, il n’est pas nécessaire de supposer cette annulation pour obtenir les résultats
qui vont suivre, mais cette supposition simplifie l’argument.
Physique quantique : Fondements
La fonction d’onde dans un potentiel périodique s’obtient en résolvant (8.101)
par exemple dans l’intervalle [0,l] avec la condition aux limites u sq (0) = u sq (l).
La quantité q a les dimensions d’une impulsion et présente effectivement certaines analogies avec une impulsion. Cependant, il ne s’agit pas d’une impulsion véritable, ne serait-ce que parce que suivant (8.98), q n’est pas unique :
on appelle q une quasi-impulsion. On remarque enfin que si le potentiel est
pair, V (x)=V (−x), l’équation (8.101) est inchangée dans les transformations
simultanées x →− x, q →− q ; u s,−q (x) est donc solution de (8.101) avec la
même valeur de l’énergie, E sq = E s,−q , et tous les niveaux sont doublement
dégénérés.
8.4.2 Bandes d’énergie
Examinons maintenant les propriétés des solutions de l’équation de Schrödinger (8.101) dans le potentiel périodique de la figure 8.11 : V (x) est une
suite de créneaux, et V (x) est non nul dans des intervalles centrés autour de
x = pl, p = ...,−2, −1, 0, 1, 2 ... et s’annule dans les intervalles
11
p −
1
2
l − ∆x ≤ x ≤
p −
1
2
l +∆x
(8.102)
Dans les intervalles (8.102) où V (x) s’annule, une solution ϕ(x) de l’équation de Schrödinger est une superposition d’ondes planes de vecteur d’onde
±k, k =(2mE/
2 )
1/2 . À gauche du créneau n et dans l’intervalle (8.102) pour
p = n, ϕ(x) s’écrit
ϕ(x)=A n e
ikx + B n e
−ikx
et à droite de ce créneau, dans l’intervalle (8.102) avec p = n +1
ϕ(x)=A n+1 e
ikx + B n+1 e
−ikx
Les coefficients (A n ,B n ) sont reliés aux coefficients (A n+1 ,B n+1 ) suivant
(8.90) par la matrice de passage M (8.92) correspondant au créneau V (x)
A n
B n
=
γδ
δ
∗
γ
∗
A n+1
B n+1
(8.103)
D’autre part, compte tenu du théorème de Bloch (8.100)
ϕ(x + l)=e
iql ϕ(x)
et nous avons
A n+1 e
ikl e
ikx + B n+1 e
−ikl e
−ikx = e
iql
A n e
ikx + B n e
−ikx
11. En fait, il n’est pas nécessaire de supposer cette annulation pour obtenir les résultats
qui vont suivre, mais cette supposition simplifie l’argument.