8. Mécanique ondulatoire
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Rappelons que la fonction obtenue à partir de ϕ(x) par une translation de l
est ϕ(x − l). Comme l’opérateur T l est unitaire, ses valeurs propres t l sont de
module un et on peut les écrire en fonction d’un paramètre q
t l (q)=e
−iql
(8.97)
Le paramètre q n’est défini qu’à un multiple entier près de 2π/l :e ne ff e t ,s i
q → q
′ = q +
2πp
l
p =0, ±1, ±2, ...
(8.98)
la valeur de t l est inchangée. Comme T l commute avec le hamiltonien en
raison de la périodicité (8.95) du potentiel, il est possible de diagonaliser
simultanément T l et H.S o i tϕ q (x) les fonctions propres communes de T l et
de H
T l ϕ q (x)=t l (q)ϕ q (x)=e
−iql ϕ q (x)
(8.99)
Hϕ q (x)=E q ϕ q (x)
La première de ces équations montre que
ϕ q (x − l)=e
−iql ϕ q (x)
et nous en déduisons le théorème de Bloch
10 : les état stationnaires dans un
potentiel périodique (8.95) sont de la forme
ϕ q (x)=e
iqx u sq (x)
u sq (x)=u sq (x + l)
(8.100)
où u sq (x) est une fonction périodique de période l. L’indice s est en général
nécessaire, car à une valeur de q correspondent plusieurs solutions possibles :
nous verrons que s indice les bandes d’énergie. Il est facile d’écrire l’équation
différentielle que vérifie u sq (x) : comme P = −id/dx
P e
iqx
= q e
iqx
Pϕ q (x)=e
iqx (P + q)u sq (x)
P
2 ϕ q (x)=e
iqx (P + q)
2 u sq (x)
d’où
Hϕ q (x)=e
iqx
−
2
2m
d
2
dx 2 − i
2 q
m
d
dx
+
2 q
2
2m
+ V (x)
u sq (x)=E sq e
iqx u sq (x)
soit, en divisant par exp(iqx)
−
2
2m
d
2
dx 2 − i
2 q
m
d
dx
+
2 q
2
2m
+ V (x)
u sq (x)=E sq u sq (x)
(8.101)
10. Ce théorème est aussi connu sous le nom de théorème de Floquet quand on traite
d’une périodicité temporelle.