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Physique quantique : Fondements
Prenant un puits de potentiel de forme quelconque (mais tel que V (x)=0
en dehors d’un intervalle fini pour simplifier la discussion), nous choisissons
E<0 avec κ = −ik donné par (8.81). Les fonctions d’onde dans les régions I
et III sont
R´ egion I
ϕ(x)=A e
−κx + B e
κx
R´ egion III
ϕ(x)=C e
−κx + D e
κx
On doit avoir A = D =0pour que ϕ(x) soit normalisable. Compte tenu de
la relation (8.93), si l’on veut avoir (B, C) =0 ,i lf a u tq u eS ait un pôle
9
à
k = iκ. Cette propriété est générale et on peut la vérifier explicitement sur le
puits carré fini de la figure 8.8.
8.4 Potentiel périodique
8.4.1 Théorème de Bloch
0
l
2lx
V (x )
− l
Fig. 8.11 – Potentiel périodique de période l à une dimension.
Comme dernier exemple de l’équation de Schrödinger à une dimension,
considérons le cas d’un potentiel périodique de période spatiale l (figure 8.11)
V (x)=V (x + l)
(8.95)
Les résultats que nous obtiendrons sont d’une importance capitale en physique du solide : en effet, un électron dans un réseau cristallin est soumis à
un potentiel périodique − à trois dimensions, mais les résultats obtenus cidessous à une dimension se généralisent à trois dimensions −, provenant des
interactions de cet électron avec les ions du réseau cristallin. La périodicité du
potentiel conduit à l’existence de bandes d’énergie qui, jointes au principe de
Pauli, sont à la base de notre compréhension de la conductibilité électrique.
Si le potentiel a la forme (8.95), le problème est invariant par toute translation x → x + l, et d’après le théorème de Wigner, il existe un opérateur
unitaire T l agissant dans l’espace de Hilbert des états, en l’occurence l’espace
des fonctions d’onde L
(2)
x (R) tel que
(T l ϕ)(x)=ϕ(x − l)
T
†
l = T
−1
l
(8.96)
9. Ou plus généralement une singularité, mais on peut montrer qu’états liés et résonances
correspondent à des pôles.
Physique quantique : Fondements
Prenant un puits de potentiel de forme quelconque (mais tel que V (x)=0
en dehors d’un intervalle fini pour simplifier la discussion), nous choisissons
E<0 avec κ = −ik donné par (8.81). Les fonctions d’onde dans les régions I
et III sont
R´ egion I
ϕ(x)=A e
−κx + B e
κx
R´ egion III
ϕ(x)=C e
−κx + D e
κx
On doit avoir A = D =0pour que ϕ(x) soit normalisable. Compte tenu de
la relation (8.93), si l’on veut avoir (B, C) =0 ,i lf a u tq u eS ait un pôle
9
à
k = iκ. Cette propriété est générale et on peut la vérifier explicitement sur le
puits carré fini de la figure 8.8.
8.4 Potentiel périodique
8.4.1 Théorème de Bloch
0
l
2lx
V (x )
− l
Fig. 8.11 – Potentiel périodique de période l à une dimension.
Comme dernier exemple de l’équation de Schrödinger à une dimension,
considérons le cas d’un potentiel périodique de période spatiale l (figure 8.11)
V (x)=V (x + l)
(8.95)
Les résultats que nous obtiendrons sont d’une importance capitale en physique du solide : en effet, un électron dans un réseau cristallin est soumis à
un potentiel périodique − à trois dimensions, mais les résultats obtenus cidessous à une dimension se généralisent à trois dimensions −, provenant des
interactions de cet électron avec les ions du réseau cristallin. La périodicité du
potentiel conduit à l’existence de bandes d’énergie qui, jointes au principe de
Pauli, sont à la base de notre compréhension de la conductibilité électrique.
Si le potentiel a la forme (8.95), le problème est invariant par toute translation x → x + l, et d’après le théorème de Wigner, il existe un opérateur
unitaire T l agissant dans l’espace de Hilbert des états, en l’occurence l’espace
des fonctions d’onde L
(2)
x (R) tel que
(T l ϕ)(x)=ϕ(x − l)
T
†
l = T
−1
l
(8.96)
9. Ou plus généralement une singularité, mais on peut montrer qu’états liés et résonances
correspondent à des pôles.