8. Mécanique ondulatoire
269
Nous avons utilisé det M =1. Comparant avec (8.91), nous en déduisons que
M est une matrice antisymétrique : M 12 = −M 21 ,cequ i ,j oi n tàM
∗
12 = M 21 ,
implique que δ est imaginaire pur, δ = iη, η réel.
Au chapitre 13, nous étudierons la théorie de la diffusion dans l’espace à
trois dimensions. Nous verrons qu’un outil important de cette théorie est la
matrice S, que nous allons introduire dans le cas plus simple à une dimension.
Nous supposons le potentiel de forme quelconque s’annulant
7 dans la région
|x| >a . Des sources de particules à x = −∞ et x =+ ∞ génèrent des ondes
planes exp(ikx) et exp(−ikx) dans les régions x<−a et x>a , respectivement : nous appellerons ces ondes les ondes entrantes. Ces ondes entrantes
peuvent être réfléchies ou transmises et donner des ondes sortantes exp(−ikx)
dans la région x<−a et exp(ikx) dans la région x>a . Par définition, la
matrice S relie les coefficients A et D des ondes entrantes (se propageant vers
la barrière) aux coefficients B et C des ondes sortantes (cf. (8.82) et (8.84))
B
C
= S
A
D
=
S 11 S 12
S 21 S 22
A
D
(8.93)
La matrice S peut, bien sûr, s’exprimer en fonction de M .C e p e n d a n t ,i le s t
plus instructif de répéter les raisonnements qui nous ont donné les propriétés
générales de M .
(i) Conservation du courant
|A|
2 −|B|
2 = |C|
2 −|D|
2 =⇒|A|
2 + |D|
2 = |B
2 | + |C|
2
Cette équation montre que S conserve la norme, et S est donc unitaire
8 .
(ii) ϕ
∗ (x) solution de l’équation de Schrödinger
A
∗
D ∗
= S
B
∗
A ∗
=⇒
B
A
=(S
∗ )
−1
A
D
d’où
S =(S
∗ )
−1 =(S
−1 )
∗ =(S
† )
∗ = S
T
(8.94)
La matrice S est symétrique : S 12 = S 21 . L’opération de conjugaison
complexe échange les ondes entrantes et les ondes sortantes, ce qui correspond à renverser le sens du temps : la propriété de symétrie S 12 = S 21
est donc liée à l’invariance par renversement du sens du temps.
Si on le souhaite, il est immédiat d’exprimer la matrice S en fonction de la
matrice M .
Un aspect intéressant de la matrice S est qu’elle permet de relier la diffusion aux états liés, et plus généralement aux résonances (exercice 13.6.4).
7. On peut généraliser au cas d’un potentiel s’annulant suffisamment vite pour x →±∞.
8. Le raisonnement ne vaut que pour la dimension finie : nous avons seulement prouvé
que S est une isométrie, ce qui suffit à en faire un opérateur unitaire en dimension finie. Il se trouve que S est unitaire même en dimension infinie, mais il faut un argument
supplémentaire pour le prouver (section 13.5).
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Nous avons utilisé det M =1. Comparant avec (8.91), nous en déduisons que
M est une matrice antisymétrique : M 12 = −M 21 ,cequ i ,j oi n tàM
∗
12 = M 21 ,
implique que δ est imaginaire pur, δ = iη, η réel.
Au chapitre 13, nous étudierons la théorie de la diffusion dans l’espace à
trois dimensions. Nous verrons qu’un outil important de cette théorie est la
matrice S, que nous allons introduire dans le cas plus simple à une dimension.
Nous supposons le potentiel de forme quelconque s’annulant
7 dans la région
|x| >a . Des sources de particules à x = −∞ et x =+ ∞ génèrent des ondes
planes exp(ikx) et exp(−ikx) dans les régions x<−a et x>a , respectivement : nous appellerons ces ondes les ondes entrantes. Ces ondes entrantes
peuvent être réfléchies ou transmises et donner des ondes sortantes exp(−ikx)
dans la région x<−a et exp(ikx) dans la région x>a . Par définition, la
matrice S relie les coefficients A et D des ondes entrantes (se propageant vers
la barrière) aux coefficients B et C des ondes sortantes (cf. (8.82) et (8.84))
B
C
= S
A
D
=
S 11 S 12
S 21 S 22
A
D
(8.93)
La matrice S peut, bien sûr, s’exprimer en fonction de M .C e p e n d a n t ,i le s t
plus instructif de répéter les raisonnements qui nous ont donné les propriétés
générales de M .
(i) Conservation du courant
|A|
2 −|B|
2 = |C|
2 −|D|
2 =⇒|A|
2 + |D|
2 = |B
2 | + |C|
2
Cette équation montre que S conserve la norme, et S est donc unitaire
8 .
(ii) ϕ
∗ (x) solution de l’équation de Schrödinger
A
∗
D ∗
= S
B
∗
A ∗
=⇒
B
A
=(S
∗ )
−1
A
D
d’où
S =(S
∗ )
−1 =(S
−1 )
∗ =(S
† )
∗ = S
T
(8.94)
La matrice S est symétrique : S 12 = S 21 . L’opération de conjugaison
complexe échange les ondes entrantes et les ondes sortantes, ce qui correspond à renverser le sens du temps : la propriété de symétrie S 12 = S 21
est donc liée à l’invariance par renversement du sens du temps.
Si on le souhaite, il est immédiat d’exprimer la matrice S en fonction de la
matrice M .
Un aspect intéressant de la matrice S est qu’elle permet de relier la diffusion aux états liés, et plus généralement aux résonances (exercice 13.6.4).
7. On peut généraliser au cas d’un potentiel s’annulant suffisamment vite pour x →±∞.
8. Le raisonnement ne vaut que pour la dimension finie : nous avons seulement prouvé
que S est une isométrie, ce qui suffit à en faire un opérateur unitaire en dimension finie. Il se trouve que S est unitaire même en dimension infinie, mais il faut un argument
supplémentaire pour le prouver (section 13.5).