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Physique quantique : Fondements
vitesse entre les régions I et II, c’est la matrice
k/k ′ R qui a les propriétés
les plus simples.
Pour passer de la région II à la région III, on remarque que le passage de
la région III vers la région II est identique au passage de I à II, à condition
de changer x →−x et k → k
′
,e td o n c
D
C
= R
G
F
soit
F
G
=
k
k ′
α −β
∗
−βα
∗
C
D
= ˜
R
C
D
(8.89)
Combinant (8.88) et (8.89), on obtient le passage (A, B) → (C, D)
A
B
= R
F
G
= R ˜
R
C
D
= M
C
D
(8.90)
et l’on a donc M = R ˜
R,o ùM est la matrice de passage. En utilisant les
formes trouvées pour R et ˜
R, on déduit
M 11 = M
∗
22
M 12 = M
∗
21
det M =1
(8.91)
À titre d’exercice, le lecteur pourra démontrer directement ces relations à
partir de l’invariance par renversement du sens du temps et la conservation
du courant, sans passer par l’intermédiaire des matrices R et ˜
R.L af o r m e
générale de M est par conséquent
M =
γδ
δ
∗ γ
∗
|γ|
2 −|δ|
2 =1
(8.92)
Cette expression de M est indépendante de la forme du potentiel, pourvu que
celui-ci s’annule suffisamment rapidement pour x →±∞.
Il reste une propriété générale de M que nous n’avons pas encore exploitée :
lorsque le potentiel est invariant par parité, V (x)=V (−x), l’opération parité
x →−x échange les régions I et III. Si ϕ(x) est la solution initiale et χ(x)=
ϕ(−x),n o u sa v o n s
r´ egion I
χ(x)=C e
−ikx + D e
ikx
r´ egion III
χ(x)=A e
−ikx + B e
ikx
et la relation entre les différents coefficients est maintenant
C
D
= M
B
A
ou encore
B
A
= M
−1
C
D
=
M 22 −M 12
−M 21 M 11
C
D
Physique quantique : Fondements
vitesse entre les régions I et II, c’est la matrice
k/k ′ R qui a les propriétés
les plus simples.
Pour passer de la région II à la région III, on remarque que le passage de
la région III vers la région II est identique au passage de I à II, à condition
de changer x →−x et k → k
′
,e td o n c
D
C
= R
G
F
soit
F
G
=
k
k ′
α −β
∗
−βα
∗
C
D
= ˜
R
C
D
(8.89)
Combinant (8.88) et (8.89), on obtient le passage (A, B) → (C, D)
A
B
= R
F
G
= R ˜
R
C
D
= M
C
D
(8.90)
et l’on a donc M = R ˜
R,o ùM est la matrice de passage. En utilisant les
formes trouvées pour R et ˜
R, on déduit
M 11 = M
∗
22
M 12 = M
∗
21
det M =1
(8.91)
À titre d’exercice, le lecteur pourra démontrer directement ces relations à
partir de l’invariance par renversement du sens du temps et la conservation
du courant, sans passer par l’intermédiaire des matrices R et ˜
R.L af o r m e
générale de M est par conséquent
M =
γδ
δ
∗ γ
∗
|γ|
2 −|δ|
2 =1
(8.92)
Cette expression de M est indépendante de la forme du potentiel, pourvu que
celui-ci s’annule suffisamment rapidement pour x →±∞.
Il reste une propriété générale de M que nous n’avons pas encore exploitée :
lorsque le potentiel est invariant par parité, V (x)=V (−x), l’opération parité
x →−x échange les régions I et III. Si ϕ(x) est la solution initiale et χ(x)=
ϕ(−x),n o u sa v o n s
r´ egion I
χ(x)=C e
−ikx + D e
ikx
r´ egion III
χ(x)=A e
−ikx + B e
ikx
et la relation entre les différents coefficients est maintenant
C
D
= M
B
A
ou encore
B
A
= M
−1
C
D
=
M 22 −M 12
−M 21 M 11
C
D