8. Mécanique ondulatoire
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Nous examinons d’abord le passage de la région I à la région II, c’est-à-dire
l’intervalle [−a, −b]. Comme l’équation de Schrödinger est linéaire, A et B sont
reliés linéairement à F et G, ce que l’on peut écrire sous forme matricielle
A
B
= R
F
G
(8.85)
où R est une matrice 2 × 2. Il est possible de déterminer des propriétés de
R sans résoudre explicitement l’équation de Schrödinger. On observe en effet que si ϕ(x) est solution de l’équation de Schrödinger indépendante du
temps (8.57), alors son complexe conjugué ϕ
∗ (x) est également solution de
cette équation parce que le potentiel V (x) est réel. Cette propriété est une
conséquence de l’invariance par renversement du sens du temps comme on le
montre dans l’appendice A2. La fonction ϕ
∗ (x) dans les régions I et II est
I ϕ
∗ (x)=A
∗
e
−ikx + B
∗
e
ikx
(8.86)
II ϕ
∗ (x)=F
∗
e
−ik
′ x + G
∗
e
ik
′ x
(8.87)
Comparant les coefficients de exp(±ikx) et exp(±ik
′ x) avec ceux de (8.82) et
(8.83), on déduit de (8.85)
B
∗
A ∗
= R
G
∗
F ∗
soit
R
∗
11 = R 22
R
∗
12 = R 21
On peut donc écrire la matrice R en fonction de deux nombres complexes α
et β
R =
k ′
k
αβ
β
∗
α
∗
(8.88)
La raison pour l’introduction du facteur a priori arbitraire
k ′ /k va apparaître dans un instant. La conservation du courant dans les régions I et II se
traduit par la relation
k(|A|
2 −|B|
2 )=k
′ (|F |
2 −|G|
2 )
Calculons le courant dans la région I en exprimant A et B fonction de F et G
k(|A|
2 −|B|
2 )=k
k
′
k
|αF + βG|
2 −|β
∗ F + α
∗ G|
2
= k
′
|α|
2 −|β|
2
|F |
2 −|G|
2
ce qui implique |α|
2 −|β|
2 =1:lamatrice
k/k ′ R est de déterminant un. On
voit l’intérêt du coefficient
k ′ /k dans (8.88) : en raison de la variation de la