8. Mécanique ondulatoire
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opération : H(−x)=H(x). D’après la discussion du § 7.3.3, on peut chercher
les vecteurs propres |ϕ ± de H qui sont pairs ou impairs dans l’opération
parité
Π|ϕ ± = ±|ϕ ±
En termes de fonction d’onde, si x|ϕ ± = ϕ ± (x)
ϕ + (−x)=ϕ(x)
ϕ − (−x)=−ϕ − (x)
En effet, compte tenu de Π|x = |−x
x|Π|ϕ ± = −x|ϕ ± = ϕ ± (−x)
= ±x|ϕ ± = ±ϕ ± (x)
Les solutions de l’équation de Schrödinger (8.70) se divisent donc en solutions
paires et impaires. Écrivons les fonctions d’ondes paires et impaires dans les
régions I : x<−a/2,I I:|x| a/2 ; la colonne du milieu du
tableau ci-dessous donne les fonctions d’onde paires, la colonne de droite les
fonctions d’onde impaires
I
A e
−κ|x|
− A
′ e
−κ|x|
II
B cos(kx)
B
′ sin(kx)
III
A e
−κx
A
′ e
−κx
Les conditions de continuité de ϕ
′ /ϕ au point x = a/2 donnent
Solutions paires
κ = k tan(ka/2)
(8.79)
Solutions impaires
κ = −k cot(ka/2)
(8.80)
La solution graphique de ces équations est représentée sur la figure 8.9. On
voit qu’il existe un nombre fini d’états liés, et qu’il existe toujours au moins
un état lié.
8.3.4 Diffusion par un potentiel
Après l’étude des états liés, nous passons à celle des états de diffusion.
Nous nous proposons d’étudier le comportement d’une particule quand elle
traverse une barrière de potentiel de la forme suivante (figure 8.10).
R´ egion I
x<−a
:
V (x)=0
R´ egion II − b :
V (x)=V 0
R´ egion III
x>a
:
V (x)=0
Nous nous limitons au cas E>V 0 ,l ec a sE Définissant
k =
2mE
2
k
′ =
2m(E − V 0 )
2
(8.81)