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Physique quantique : Fondements
l’inégalité de Heisenberg permet de trouver l’ordre de grandeur de l’énergie
de l’état fondamental. En effet, p ∼ /x ∼ /a, ce qui donne
E =
p
2
2m
∼
2
2ma 2
en accord avec (8.76) pour n =0àu nf a c t e u rπ
2 près. Contrairement au cas
de l’atome d’hydrogène, le résultat heuristique diffère du résultat exact par
un facteur ∼ 10 : ceci provient de la variation brutale du potentiel à x =0et
x = a qui oblige la fonction d’onde à s’annuler de façon brusque, avec comme
conséquence une énergie cinétique importante. En effet, l’énergie cinétique
moyenne K ϕ dans l’état ϕ est
K ϕ = ϕ|K|ϕ = −
2
2m
dxϕ
∗ (x)
d
2 ϕ(x)
dx 2
et elle est d’autant plus importante que la dérivée seconde de ϕ(x) est grande.
− a/2
− V 0
x
O
a/2
Fig. 8.8 – Puits carré fini.
Déterminons maintenant les niveaux d’énergie du puits carré fini
(figure 8.8)
V (x)=0
|x| >a/2
V (x)=−V 0
|x| On cherche les états liés, et on doit donc choisir l’énergie dans l’intervalle
[−V 0 , 0]. Définissons k et κ par
κ =
−
2mE
2
k =
2m(V 0 + E)
2
0 ≤ κ
2 ≤
2mV 0
2
(8.78)
Le potentiel V (x) est invariant dans l’opération parité Π:x →− x.E n
effet, V (−x)=V (x), ce qui entraîne l’invariance du hamiltonien dans cette