8. Mécanique ondulatoire
263
Les barrières de potentiel en x =0et x = a sont infinies : une particule
classique est enfermée dans la région 0 ≤ x ≤ a, quelle que soit son énergie.
D’après la discussion précédente, la fonction d’onde de la particule quantique
s’annule en dehors de l’intervalle [0,a] et une particule quantique est également
strictement confinée dans [0,a] : sa probabilité de présence est nulle en dehors
de l’intervalle [0,a]. En raison de l’annulation de la fonction d’onde à x =0 ,
les solutions de (8.70) sont de la forme
ϕ(x)=A sin(kx)
k =
2mE
2
et comme ϕ(x) doit aussi s’annnuler à x = a,lesv aleursdek sont de la forme
k = k n =
π(n +1)
a
n =0, 1, 2, 3, ...
(8.75)
Nous voyons que l’énergie prend des valeurs discrètes étiquetées par un nombre
entier positif
6 n
E n =
2 k
2
n
2m
=
2
2m
π
a
2
(n +1)
2
n =0, 1, 2, 3, ...
(8.76)
En d’autres termes, nous venons de montrer que les niveaux d’énergie du
puits infini sont quantifiés, et c’est le premier exemple où nous démontrons
explicitement cette quantification. La fonction d’onde correctement normalisée correspondant au niveau E n est
ϕ n (x)=
2
a
sin
π(n +1)x
a
(8.77)
Il est facile de vérifier que deux fonctions d’onde ϕ n (x) et ϕ m (x) sont orthogonales pour n = m.L e sv a l e u r sk n et −k n correspondent au même état
physique car la substitution k n →− k n conduit à un simple changement de
signe de la fonction d’onde, qui est un facteur de phase : c’est pourquoi nous
n’avons pas pris en compte les valeurs négatives de n dans (8.75). Remarquons
également que la fonction d’onde ϕ n (x) s’annule n fois dans l’intervalle [0,a] :
on dit que la fonction d’onde a n nœuds dans cet intervalle. Le nombre de
nœuds donne une classification des niveaux par valeurs croissantes de l’énergie : plus l’énergie est grande et plus la fonction d’onde a de nœuds. Ceci
est un résultat général que nous admettrons lorsque le potentiel V (x) est
suffisamment régulier, ce que nous supposerons toujours : si E n est l’énergie
du niveau n, la fonction d’onde correspondante aura n noeuds. La fonction
d’onde de l’état fondamental E 0 ne s’annule pas. Une autre remarque est que
6. Notre convention (qui n’est pas la convention habituelle dans ce cas précis) est choisie
de telle sorte n =0corresponde à l’état fondamental, ce qui permet de se conformer à une
convention usuelle : en général, l’énergie de l’état fondamental est notée E 0 .
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Les barrières de potentiel en x =0et x = a sont infinies : une particule
classique est enfermée dans la région 0 ≤ x ≤ a, quelle que soit son énergie.
D’après la discussion précédente, la fonction d’onde de la particule quantique
s’annule en dehors de l’intervalle [0,a] et une particule quantique est également
strictement confinée dans [0,a] : sa probabilité de présence est nulle en dehors
de l’intervalle [0,a]. En raison de l’annulation de la fonction d’onde à x =0 ,
les solutions de (8.70) sont de la forme
ϕ(x)=A sin(kx)
k =
2mE
2
et comme ϕ(x) doit aussi s’annnuler à x = a,lesv aleursdek sont de la forme
k = k n =
π(n +1)
a
n =0, 1, 2, 3, ...
(8.75)
Nous voyons que l’énergie prend des valeurs discrètes étiquetées par un nombre
entier positif
6 n
E n =
2 k
2
n
2m
=
2
2m
π
a
2
(n +1)
2
n =0, 1, 2, 3, ...
(8.76)
En d’autres termes, nous venons de montrer que les niveaux d’énergie du
puits infini sont quantifiés, et c’est le premier exemple où nous démontrons
explicitement cette quantification. La fonction d’onde correctement normalisée correspondant au niveau E n est
ϕ n (x)=
2
a
sin
π(n +1)x
a
(8.77)
Il est facile de vérifier que deux fonctions d’onde ϕ n (x) et ϕ m (x) sont orthogonales pour n = m.L e sv a l e u r sk n et −k n correspondent au même état
physique car la substitution k n →− k n conduit à un simple changement de
signe de la fonction d’onde, qui est un facteur de phase : c’est pourquoi nous
n’avons pas pris en compte les valeurs négatives de n dans (8.75). Remarquons
également que la fonction d’onde ϕ n (x) s’annule n fois dans l’intervalle [0,a] :
on dit que la fonction d’onde a n nœuds dans cet intervalle. Le nombre de
nœuds donne une classification des niveaux par valeurs croissantes de l’énergie : plus l’énergie est grande et plus la fonction d’onde a de nœuds. Ceci
est un résultat général que nous admettrons lorsque le potentiel V (x) est
suffisamment régulier, ce que nous supposerons toujours : si E n est l’énergie
du niveau n, la fonction d’onde correspondante aura n noeuds. La fonction
d’onde de l’état fondamental E 0 ne s’annule pas. Une autre remarque est que
6. Notre convention (qui n’est pas la convention habituelle dans ce cas précis) est choisie
de telle sorte n =0corresponde à l’état fondamental, ce qui permet de se conformer à une
convention usuelle : en général, l’énergie de l’état fondamental est notée E 0 .