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Physique quantique : Fondements
Si V (x) reste égal à V 0 pour tout x>0, le comportement (8.73) de la fonction
d’onde reste valable quel que soit x>0. Il est alors nécessaire que D =0 ,
car dans le cas contraire, la fonction |ϕ(x)|
2
se comporterait comme exp(2κx)
pour x →∞: un comportement constant en module comme celui d’une onde
plane est acceptable, mais pas un comportement aussi divergent. Dans ces
conditions, la continuité à x =0de ϕ et celle de sa dérivée logarithmique
s’écrivent
ϕ : C = A + B
ϕ
′
ϕ
: −κ =
ik(A − B)
A + B
Les coefficients A et B sont a priori définis à une constante multiplicative
près puisque l’on n’a fait aucune hypothèse sur la région x>0.Onpeu tfi xer
arbitrairement A =1, et la solution pour les deux autres coefficients est alors
B = −
κ + ik
κ − ik
C = −
2ik
κ − ik
(8.74)
Nous pouvons déduire de ces expressions le cas limite où V 0 →∞, qui correspond à une barrière infranchissable par une particule classique quelle que soit
son énergie, ou barrière de potentiel infinie. L’équation (8.71) montre alors
que κ →∞ , et (8.74) que B →− 1 et C → 0. La fonction d’onde s’annule
dans la région II, en restant continue au point x =0. En revanche, sa dérivée
ϕ
′ (x) est discontinue en ce point.
8.3.3 États liés du puits carré
1
a
(b)
(a)
V (x )
E 0
E 1
0
0
Fig. 8.7 – Puits carré infini et fonctions d’onde de ses deux premiers niveaux.
Comme premier exemple d’états liés, étudions ceux du puits carré infini
(figure 8.7)
V (x)=0
0 ≤ x ≤ a
V (x)=+ ∞
x<0o ux>a