8. Mécanique ondulatoire
261
Au voisinage de la discontinuité, nous pouvons déduire le comportement de
ϕ
′ (x) grâce à
ϕ
′ (x 0 + ε) − ϕ
′ (x 0 − ε)=
x0+ε
x0−ε
∂
2 ϕ(x)
∂x 2 dx =
x0+ε
x0−ε
2m(V (x) − E)
2
ϕ(x)
La seconde intégrale est bien définie car ϕ(x) est intégrable ; cette intégrale
doit donc tendre vers zéro avec ε,c eq u im o n t r eq u eϕ
′ (x) et a fortiori ϕ(x)
sont continues tant que la discontinuité V 0 reste finie.
Au lieu d’écrire les conditions de continuité de ϕ(x) et de ϕ
′ (x),i le s t
souvent commode d’écrire celles de ϕ(x) et de sa dérivée logarithmique
ϕ
′ (x)/ϕ(x). Une conséquence immédiate de ces conditions est que le courant j(x) est égal à la même constante de part et d’autre de x 0 , ce que l’on
voit à partir de l’expression suivante de j(x)
j(x)=
2im
|ϕ|
2
ϕ
′
ϕ
−
ϕ
′
ϕ
∗
Comme application de ces conditions de continuité, prenons le cas d’une
“marche de potentiel” (figure 8.6)
x
I
II
V (x )
V 0
Fig. 8.6 – Marche de potentiel.
r´ egion I V (x)=0
p o u r x<0
r´ egion II V (x)=V 0
pour x>0
Pour fixer les idées, on choisit 0 k =
2mE
2
κ =
2m(V 0 − E)
2
(8.71)
les solutions de (8.70) s’écrivent dans les régions I et II
I
ϕ(x)=A e
ikx + B e
−ikx
(8.72)
II
ϕ(x)=C e
−κx + D e
κx
(8.73)