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Physique quantique : Fondements
C’est cette condition que nous allons utiliser pour obtenir les états liés. Pour
les états de diffusion, cette condition est trop forte : nous avons vu que pour
V (x)=0 , les solutions de (8.57) sont des ondes planes, non normalisables.
Pour x →± ∞ , nous nous attendons à un comportement d’onde plane pour
les solutions de (8.57), puisque le potentiel s’annule à l’infini. Pour les états de
diffusion E>0 du potentiel de la figure 8.4, nous nous contenterons d’exiger
un comportement d’onde plane à l’infini : il ne faut pas exiger davantage de la
solution en présence de potentiel que de la solution en l’absence de potentiel !
8.3.2 Réflexion et transmission par une marche
de potentiel
Dans la suite de cette section, nous allons nous intéresser au cas où le potentiel
est constant par morceaux : V (x) est constant dans un intervalle et saute
brusquement à une autre constante en certains points. Ce type de potentiel
représente une bonne approximation d’un potentiel réaliste dans certains cas,
et il peut être utilisé pour approcher un potentiel variant continûment dans
d’autres cas. Comme le potentiel présente des discontinuités, il est nécessaire
d’examiner le comportement de la fonction d’onde au voisinage d’une telle
discontinuité. Montrons que la fonction d’onde ϕ(x) et sa dérivée ϕ
′ (x) sont
continues si le potentiel présente une discontinuité finie V 0 au point x = x 0
(figure 8.5). Comme |ϕ(x)|
2 doit être intégrable en x 0 , |ϕ(x)| l’est également.
Il sera commode de récrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps
(8.57) sous la forme
∂
2
∂x 2 +
2m(E − V (x))
2
ϕ(x)=0
(8.70)
x
V (x )
V 0
x 0 − ε
x 0
x 0 + ε
Fig. 8.5 – Discontinuité de potentiel.
Physique quantique : Fondements
C’est cette condition que nous allons utiliser pour obtenir les états liés. Pour
les états de diffusion, cette condition est trop forte : nous avons vu que pour
V (x)=0 , les solutions de (8.57) sont des ondes planes, non normalisables.
Pour x →± ∞ , nous nous attendons à un comportement d’onde plane pour
les solutions de (8.57), puisque le potentiel s’annule à l’infini. Pour les états de
diffusion E>0 du potentiel de la figure 8.4, nous nous contenterons d’exiger
un comportement d’onde plane à l’infini : il ne faut pas exiger davantage de la
solution en présence de potentiel que de la solution en l’absence de potentiel !
8.3.2 Réflexion et transmission par une marche
de potentiel
Dans la suite de cette section, nous allons nous intéresser au cas où le potentiel
est constant par morceaux : V (x) est constant dans un intervalle et saute
brusquement à une autre constante en certains points. Ce type de potentiel
représente une bonne approximation d’un potentiel réaliste dans certains cas,
et il peut être utilisé pour approcher un potentiel variant continûment dans
d’autres cas. Comme le potentiel présente des discontinuités, il est nécessaire
d’examiner le comportement de la fonction d’onde au voisinage d’une telle
discontinuité. Montrons que la fonction d’onde ϕ(x) et sa dérivée ϕ
′ (x) sont
continues si le potentiel présente une discontinuité finie V 0 au point x = x 0
(figure 8.5). Comme |ϕ(x)|
2 doit être intégrable en x 0 , |ϕ(x)| l’est également.
Il sera commode de récrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps
(8.57) sous la forme
∂
2
∂x 2 +
2m(E − V (x))
2
ϕ(x)=0
(8.70)
x
V (x )
V 0
x 0 − ε
x 0
x 0 + ε
Fig. 8.5 – Discontinuité de potentiel.