8. Mécanique ondulatoire
259
du temps, elle génère un courant stationnaire
5
composé d’après (8.64) d’un
terme |A|
2 p/m dirigé vers les x positifs et d’un terme −|B|
2 p/m dirigé vers les
x négatifs. Aux solutions indépendantes du temps exp(±ipx/) correspondent
des solutions de (8.55) dépendant du temps exp[i(±px − E(p)t)/] qui sont
des ondes progressives se propageant dans les directions des x positifs ou des
x négatifs. Avec les ondes progressives exp[i(+px − E(p)t)/],o nf o r m ed e s
paquets d’ondes se propageant dans la direction des x positifs : on dira que
ces paquets d’ondes proviennent d’une source de particules à x = −∞.A v e c
les ondes progressives exp[i(−px − E(p)t)/], on forme des paquets d’ondes se
propageant dans la direction des x négatifs : on dira qu’il y a une source de
particules à x =+∞.
V(x )
x
Fig. 8.4 – Puits de potentiel.
Passons au cas où V (x) =0et, pour fixer les idées, supposons que V (x)
a la forme de la figure 8.4 : V (x) est un “puits de potentiel” et V (x) → 0
si x →± ∞ . En mécanique classique, suivant la discussion du § 1.5.1, ce
potentiel a des états liés si E<0 et des états de diffusion si E>0.P o u r
E<0, la particule classique reste confinée sur un intervalle fini de l’axe des
x,pourE>0, elle part à l’infini. La région de l’axe des x qui est permise à la
particule classique est celle où E>V(x), et où son impulsion p(x) est réelle
p(x)=±
2m(E − V (x))
(8.68)
tandis que la région E
2m(V (x) − E)
(8.69)
lui est interdite. Nous allons voir que ce comportement classique se reflète
dans le comportement quantique : la forme des solutions de (8.57) sera différente selon que p(x) est réel ou imaginaire. Pour que ϕ(x) soit une solution
acceptable, il ne suffit pas que ϕ(x) vérifie formellement (8.57), il faut aussi
que ϕ(x) soit normalisable
∞
−∞
dx |ϕ(x)|
2 < ∞
5. Un exemple de courant stationnaire est le courant continu en électricité.
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du temps, elle génère un courant stationnaire
5
composé d’après (8.64) d’un
terme |A|
2 p/m dirigé vers les x positifs et d’un terme −|B|
2 p/m dirigé vers les
x négatifs. Aux solutions indépendantes du temps exp(±ipx/) correspondent
des solutions de (8.55) dépendant du temps exp[i(±px − E(p)t)/] qui sont
des ondes progressives se propageant dans les directions des x positifs ou des
x négatifs. Avec les ondes progressives exp[i(+px − E(p)t)/],o nf o r m ed e s
paquets d’ondes se propageant dans la direction des x positifs : on dira que
ces paquets d’ondes proviennent d’une source de particules à x = −∞.A v e c
les ondes progressives exp[i(−px − E(p)t)/], on forme des paquets d’ondes se
propageant dans la direction des x négatifs : on dira qu’il y a une source de
particules à x =+∞.
V(x )
x
Fig. 8.4 – Puits de potentiel.
Passons au cas où V (x) =0et, pour fixer les idées, supposons que V (x)
a la forme de la figure 8.4 : V (x) est un “puits de potentiel” et V (x) → 0
si x →± ∞ . En mécanique classique, suivant la discussion du § 1.5.1, ce
potentiel a des états liés si E<0 et des états de diffusion si E>0.P o u r
E<0, la particule classique reste confinée sur un intervalle fini de l’axe des
x,pourE>0, elle part à l’infini. La région de l’axe des x qui est permise à la
particule classique est celle où E>V(x), et où son impulsion p(x) est réelle
p(x)=±
2m(E − V (x))
(8.68)
tandis que la région E
2m(V (x) − E)
(8.69)
lui est interdite. Nous allons voir que ce comportement classique se reflète
dans le comportement quantique : la forme des solutions de (8.57) sera différente selon que p(x) est réel ou imaginaire. Pour que ϕ(x) soit une solution
acceptable, il ne suffit pas que ϕ(x) vérifie formellement (8.57), il faut aussi
que ϕ(x) soit normalisable
∞
−∞
dx |ϕ(x)|
2 < ∞
5. Un exemple de courant stationnaire est le courant continu en électricité.