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Physique quantique : Fondements
La densité est ρ(x)=|A|
2
.L ec o u r a n tv a u t
j(x)=Re
im
A
∗
e
−ipx/
ip
A e
ipx/
= |A|
2 p
m
(8.64)
et s’interprète donc comme : courant = densité×vitesse. Le courant est dirigé
vers la droite si p>0 et vers la gauche si p<0. Lorsque la fonction d’onde
est indépendante du temps, comme dans le cas de l’onde plane, le courant est
nécessairement indépendant de x puisque ∂ρ/∂t =0= ⇒ ∂j/∂x =0 .I lr e s t e
à s’assurer que le courant (8.63) vérifie bien l’équation de continuité (8.60).
D’une part,
∂j
∂x
=
2im
ϕ
∗ ∂
2 ϕ
∂x 2 − ϕ
∂
2 ϕ
∗
∂x 2
=
i
[ϕ
∗ (Hϕ) − ϕ(Hϕ)
∗ ]
où nous avons utilisé
2im
∂
2 ϕ
∂x 2 =
i
[(H − V )ϕ]
et le fait que V est une fonction réelle de x et t. D’autre part,
∂
∂t
|ϕ(x, t)|
2 = ϕ
∗ ∂ϕ
∂t
+ ϕ
∂ϕ
∗
∂t
=
1
i
[ϕ
∗ (Hϕ) − ϕ(Hϕ)
∗ ]
ce qui montre que
∂
∂t
|ϕ(x, t)|
2 +
∂
∂x
j(x, t)=0
(8.65)
8.3 Résolution de l’équation de Schrödinger
indépendante du temps
8.3.1 Généralités
Nous nous proposons de chercher les solutions de l’équation de Schrödinger
indépendante du temps (8.57), c’est-à dire déterminer les valeurs propres E
et les fonctions propres correspondantes ϕ(x). Commençons par le cas le plus
simple où le potentiel V (x)=0. L’équation (8.57) devient
∂
2
∂x 2 +
2mE
2
ϕ(x)=0
(8.66)
La solution générale de cette équation est bien sûr une combinaison d’ondes
planes, avec p =
√
2mE > 0
ϕ(x)=A e
ipx/ + B e
−ipx/
(8.67)
se propageant dans la direction des x positifs avec une amplitude A et des x
négatifs avec une amplitude B. Bien que la solution (8.67) soit indépendante