8. Mécanique ondulatoire
257
dans l’ensemble des deux intervalles complémentaires ] −∞,a] et [b, +∞[ doit
augmenter, car quel que soit t, l’intégrale
∞
−∞
dx |ϕ(x, t)|
2
est constante et égale à un. De la même façon, l’intégrale sur tout l’espace
de la densité de fluide reste constante et égale à la masse totale M ,o u ,e n
électrodynamique, l’intégrale sur tout l’espace de la densité de charge reste
constante et égale à la charge totale Q. L’analogue de la densité en mécanique
quantique est ρ(x, t)=|ϕ(x, t)|
2
; cependant, il s’agit d’une densité de probabilité, et non d’une véritable densité. Nous recherchons un courant j(x, t)
vérifiant (8.60), qui sera aussi un courant de probabilité et non un courant
véritable. La forme de ce courant est suggérée par le raisonnement suivant :
en hydrodynamique, la vitesse moyenne v(t) du fluide (ou vitesse du centre
de masse) est donnée par
v(t) =
1
M
ρ(x, t)v(x, t)dx =
1
M
j(x, t)dx
(8.61)
En mécanique quantique, l’opérateur vitesse est d’après (7.61)
˙
X =
i
[H, X]=
P
m
et sa valeur moyenne est
˙
X(t)=ϕ(t)
P
m
ϕ(t) =
dxϕ
∗ (x, t)
im
∂ϕ(x, t)
∂x
où nous avons utilisé (8.9) et (8.16). L’intégrand dans cette équation est en
général complexe et ne convient pas pour le courant. Une intégration par
parties permet de construire un courant réel
˙
X(t)=
2im
dx
ϕ
∗ (x, t)
∂ϕ(x, t)
∂x
− ϕ(x, t)
∂ϕ
∗ (x, t)
∂x
(8.62)
La comparaison de (8.61) pour M =1avec (8.62) suggère la forme suivante
pour le courant j(x, t)
j =
2im
ϕ
∗ (x, t)
∂ϕ(x, t)
∂x
− ϕ(x, t)
∂ϕ
∗ (x, t)
∂x
=Re
im
ϕ
∗ (x, t)
∂ϕ(x, t)
∂x
(8.63)
Afin de nous familiariser avec cette expression peu intuitive, examinons le cas
d’une onde plane
ϕ(x)=A e
ipx/
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dans l’ensemble des deux intervalles complémentaires ] −∞,a] et [b, +∞[ doit
augmenter, car quel que soit t, l’intégrale
∞
−∞
dx |ϕ(x, t)|
2
est constante et égale à un. De la même façon, l’intégrale sur tout l’espace
de la densité de fluide reste constante et égale à la masse totale M ,o u ,e n
électrodynamique, l’intégrale sur tout l’espace de la densité de charge reste
constante et égale à la charge totale Q. L’analogue de la densité en mécanique
quantique est ρ(x, t)=|ϕ(x, t)|
2
; cependant, il s’agit d’une densité de probabilité, et non d’une véritable densité. Nous recherchons un courant j(x, t)
vérifiant (8.60), qui sera aussi un courant de probabilité et non un courant
véritable. La forme de ce courant est suggérée par le raisonnement suivant :
en hydrodynamique, la vitesse moyenne v(t) du fluide (ou vitesse du centre
de masse) est donnée par
v(t) =
1
M
ρ(x, t)v(x, t)dx =
1
M
j(x, t)dx
(8.61)
En mécanique quantique, l’opérateur vitesse est d’après (7.61)
˙
X =
i
[H, X]=
P
m
et sa valeur moyenne est
˙
X(t)=ϕ(t)
P
m
ϕ(t) =
dxϕ
∗ (x, t)
im
∂ϕ(x, t)
∂x
où nous avons utilisé (8.9) et (8.16). L’intégrand dans cette équation est en
général complexe et ne convient pas pour le courant. Une intégration par
parties permet de construire un courant réel
˙
X(t)=
2im
dx
ϕ
∗ (x, t)
∂ϕ(x, t)
∂x
− ϕ(x, t)
∂ϕ
∗ (x, t)
∂x
(8.62)
La comparaison de (8.61) pour M =1avec (8.62) suggère la forme suivante
pour le courant j(x, t)
j =
2im
ϕ
∗ (x, t)
∂ϕ(x, t)
∂x
− ϕ(x, t)
∂ϕ
∗ (x, t)
∂x
=Re
im
ϕ
∗ (x, t)
∂ϕ(x, t)
∂x
(8.63)
Afin de nous familiariser avec cette expression peu intuitive, examinons le cas
d’une onde plane
ϕ(x)=A e
ipx/