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Physique quantique : Fondements
Considérons une surface S limitant un volume V, qui contient une masse M (V)
de fluide (figure 8.3). La masse dM (V)/dt de fluide s’écoulant par unité de
temps hors de V est égale au flux du courant à travers S
d
Fig. 8.3 – Courant et flux sortant d’un volume V.
dM (V)
dt
=
S
j · d
S =
V
(
∇· j ) d
3 r
où nous avons utilisé le théorème de la divergence. Cette masse de fluide est
aussi égale à moins la dérivée par rapport au temps de l’intégrale de la densité
sur V
dM (V)
dt
= −
d
dt
V
d
3 rρ( r, t)=−
V
d
3 r
∂ρ( r, t)
∂t
Les deux expressions de dM (V)/dt doivent être égales quel que soit le volume
V, ce qui implique que les intégrands doivent être égaux, d’où l’équation de
continuité
∂ρ
∂t
+
∇· j =0
(8.59)
et en revenant à la dimension d =1
∂ρ
∂t
+
∂j
∂x
=0
(8.60)
En électrodynamique, ρ est la densité de charge et j la densité de courant,
qui vérifient aussi une équation de continuité du type (8.59) traduisant la
conservation locale de la charge électrique.
En mécanique quantique, on s’attend à trouver une équation de continuité
du type (8.59), ou (8.60) à une dimension. En effet, si
b
a
dx |ϕ(x, t)|
2
est la probabilité de trouver la particule au temps t dans l’intervalle [a, b],
cette probabilité va en général dépendre du temps. Si, par exemple, cette
probabilité diminue, cela veut dire que la probabilité de trouver la particule