8. Mécanique ondulatoire
255
Multiplions à gauche les deux membres de cette équation par le bra x| en
utilisant (8.53) comme hamiltonien
i
d
dt
x|ϕ(t) = i
∂
∂t
ϕ(x, t)
x|P
2 |ϕ(t) =( P
2 ϕ)(x, t)=
−i
∂
∂x
2
ϕ(x, t)=−
2 ∂
2 ϕ(x, t)
∂x 2
x|V (X)|ϕ(t) = V (x)ϕ(x, t)
où nous avons utilisé (8.8) et (8.16). Nous obtenons donc l’équation de
Schrödinger dépendant du temps
i
∂ϕ(x, t)
∂t
= −
2
2m
∂
2 ϕ(x, t)
∂x 2
+ V (x)ϕ(x, t)
(8.55)
L’équation de Schrödinger est une équation d’onde pour la fonction d’onde
ϕ(x, t).
Comme le potentiel V (X) est indépendant du temps, nous savons qu’il
existe des solutions stationnaires de (8.54)
|ϕ(t) =exp
− i
Et
|ϕ(0)
H|ϕ(0) = E|ϕ(0)
(8.56)
En multipliant à gauche par le bra x|, l’équation H|ϕ = E|ϕ devient l’équation de Schrödinger indépendante du temps
−
2
2m
∂
2
∂x 2 + V (x)
ϕ(x)=Eϕ(x)
(8.57)
On peut généraliser (8.55) dans deux directions. Tout en restant compatible
avec l’invariance galiléenne, il est possible de rajouter une dépendance temporelle au potentiel : V (x) → V (x, t). On peut aussi utiliser des potentiels dépendant de la vitesse, par exemple comme approximation d’effets relativistes.
Dans ce cas, l’invariance galiléenne est perdue, et de plus il peut s’introduire
des ambiguïtés lorsque l’on doit faire un choix pour l’ordre d’un produit d’opérateurs position et impulsion.
8.2.2 Probabilité de présence et vecteur courant
À la probabilité de présence |ϕ(x, t)|
2 , on peut associer un vecteur courant
j(x, t), par analogie avec l’hydrodynamique ou l’électrodynamique. Rappelons
l’exemple de l’hydrodynamique pour fixer les idées : soit
4 ρ( r, t), la masse
volumique d’un fluide compressible de masse totale M s’écoulant avec une
vitesse locale v( r, t) ;l ecourant j ( r, t) est défini par
j ( r, t)=ρ( r, t) v( r, t)
(8.58)
4. Nous nous plaçons provisoirement en dimension d =3.
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Multiplions à gauche les deux membres de cette équation par le bra x| en
utilisant (8.53) comme hamiltonien
i
d
dt
x|ϕ(t) = i
∂
∂t
ϕ(x, t)
x|P
2 |ϕ(t) =( P
2 ϕ)(x, t)=
−i
∂
∂x
2
ϕ(x, t)=−
2 ∂
2 ϕ(x, t)
∂x 2
x|V (X)|ϕ(t) = V (x)ϕ(x, t)
où nous avons utilisé (8.8) et (8.16). Nous obtenons donc l’équation de
Schrödinger dépendant du temps
i
∂ϕ(x, t)
∂t
= −
2
2m
∂
2 ϕ(x, t)
∂x 2
+ V (x)ϕ(x, t)
(8.55)
L’équation de Schrödinger est une équation d’onde pour la fonction d’onde
ϕ(x, t).
Comme le potentiel V (X) est indépendant du temps, nous savons qu’il
existe des solutions stationnaires de (8.54)
|ϕ(t) =exp
− i
Et
|ϕ(0)
H|ϕ(0) = E|ϕ(0)
(8.56)
En multipliant à gauche par le bra x|, l’équation H|ϕ = E|ϕ devient l’équation de Schrödinger indépendante du temps
−
2
2m
∂
2
∂x 2 + V (x)
ϕ(x)=Eϕ(x)
(8.57)
On peut généraliser (8.55) dans deux directions. Tout en restant compatible
avec l’invariance galiléenne, il est possible de rajouter une dépendance temporelle au potentiel : V (x) → V (x, t). On peut aussi utiliser des potentiels dépendant de la vitesse, par exemple comme approximation d’effets relativistes.
Dans ce cas, l’invariance galiléenne est perdue, et de plus il peut s’introduire
des ambiguïtés lorsque l’on doit faire un choix pour l’ordre d’un produit d’opérateurs position et impulsion.
8.2.2 Probabilité de présence et vecteur courant
À la probabilité de présence |ϕ(x, t)|
2 , on peut associer un vecteur courant
j(x, t), par analogie avec l’hydrodynamique ou l’électrodynamique. Rappelons
l’exemple de l’hydrodynamique pour fixer les idées : soit
4 ρ( r, t), la masse
volumique d’un fluide compressible de masse totale M s’écoulant avec une
vitesse locale v( r, t) ;l ecourant j ( r, t) est défini par
j ( r, t)=ρ( r, t) v( r, t)
(8.58)
4. Nous nous plaçons provisoirement en dimension d =3.