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Physique quantique : Fondements
On obtient une forme très simple pour ϕ(x, t) s’il est possible de négliger le
terme quadratique en (k − k)
2
ϕ(x, t)=
1
√
2π
exp[iω(k)t]
dkA(k)exp[ik(x − v g t)]
=e x p [ iω(k)t]ϕ(x − v g t, 0)
(8.51)
Cette équation montre que, mis à part le facteur de phase exp[iω(k)t],l a
fonction d’onde au temps t se déduit de celle au temps t =0par la substitution
x → x − v g t, c’est-à-dire que le paquet d’ondes se propage sans déformation
dans la direction des x positifs − si v g > 0 − àl av i t e s s ev g . Cependant,
ce résultat est seulement approximatif puisque nous avons négligé le terme
quadratique en (k − k)
2
. Ce terme donne une contribution à la phase
−
1
2
(k − k)
2
m
t
qui doit rester ≪ 1 dans le domaine où |A(k)| est appréciable, si l’on veut
se contenter de l’approximation linéaire. La contribution de ce terme pourra
être négligée si
1
2
(k − k)
2 t
m
≪ 1
dans une région d’extension ∆k autour de k ; pour que la déformation du
paquet d’ondes soit faible, on doit avoir
t ≪
2m
(∆k) 2 =
2m
(∆p) 2
(8.52)
Si cette condition n’est pas satisfaite, le paquet d’ondes se déforme en s’élargissant, tandis que son centre continue à se déplacer à la vitesse v g : c’est le
phénomène d’étalement du paquet d’ondes.
8.2 Équation de Schrödinger
8.2.1 Hamiltonien de l’équation de Schrödinger
Nous avons vu au § 7.4.1 que le hamiltonien indépendant du temps le plus
général compatible avec l’invariance galiléenne en dimension d =1était donné
par (7.68)
H =
P
2
2m
+ V (X)
(8.53)
où K = P
2 /(2m) est l’opérateur énergie cinétique et V (X) l’opérateur énergie potentielle, ou plus brièvement le potentiel. Rappelons aussi l’équation
d’évolution (4.11)
i
d|ϕ(t)
dt
= H|ϕ(t)
(8.54)