8. Mécanique ondulatoire
253
• Particule localisée en x = x 0
A(k)=
1
√
2π
e
−ikx0
ϕ(x, 0) = δ(x − x 0 )
(8.47)
Rappelons que ni l’onde plane (8.46), ni l’état parfaitement localisé (8.47) ne
correspondent à des états physiquement réalisables. Dans le cas (8.47) de la
particule localisée, |A(k)|
2
, qui est la probabilité d’observer une impulsion k,
est indépendant de k, ce qui fait que la distribution de probabilité en p ne
peut pas être normalisée. De même, dans le cas (8.46) de l’impulsion fixée,
|ϕ(x)|
2 =cste et la probabilité de présence est uniforme sur l’axe des x :à
nouveau la distribution de probabilité en x ne peut pas être normalisée. Pour
un état physiquement réalisable, on doit avoir d’après (8.31)
∞
−∞
dk |A(k)|
2 < ∞
Examinons maintenant l’évolution du paquet d’ondes au cours du temps. Pour
évaluer (8.44), nous utilisons l’approximation de la phase stationnaire. Définissant A(k)=|A(k)| exp(iφ(k)), la phase θ(k) de l’exponentielle dans (8.44)
vaut
θ(k)=kx − ω(k)t + φ(k)
Nous obtiendrons la contribution principale à l’intégrale (8.44) si la phase θ(k)
est stationnaire dans la région k ≃ k où |A(k)| est maximum : en effet, si θ(k)
n’est pas stationnaire, l’exponentielle oscille rapidement et la contribution
moyenne à l’intégrale (8.44) est nulle. Nous devons donc avoir
dθ
dk
k=k
= x − t
dω
dk
k=k
+
dφ
dk
k=k
=0
Le centre du paquet d’ondes va se déplacer selon la loi
x = v g (t − τ )
(8.48)
où v g est la vitesse de groupe, qui n’est autre que la vitesse moyenne v de la
particule
v g = v =
dω
dk
k=k
=
d
dk
k
2
2m
k=k
=
k
m
=
p
m
(8.49)
Le temps τ qui détermine la position initiale x 0 = −v g τ du centre du paquet
d’ondes est
τ =
1
v g
dφ
dk
k=k
=
dφ
dE
k=k
(8.50)
Pour obtenir un résultat plus précis, nous pouvons récrire la phase en développant ω(k) au voisinage de k = k
θ(k)=kx − ω(k)t − (k − k)v g t −
1
2
(k − k)
2
m
t + φ(k)
= ω(k)t + k(x − v g t) −
1
2
(k − k)
2
m
t + φ(k)
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• Particule localisée en x = x 0
A(k)=
1
√
2π
e
−ikx0
ϕ(x, 0) = δ(x − x 0 )
(8.47)
Rappelons que ni l’onde plane (8.46), ni l’état parfaitement localisé (8.47) ne
correspondent à des états physiquement réalisables. Dans le cas (8.47) de la
particule localisée, |A(k)|
2
, qui est la probabilité d’observer une impulsion k,
est indépendant de k, ce qui fait que la distribution de probabilité en p ne
peut pas être normalisée. De même, dans le cas (8.46) de l’impulsion fixée,
|ϕ(x)|
2 =cste et la probabilité de présence est uniforme sur l’axe des x :à
nouveau la distribution de probabilité en x ne peut pas être normalisée. Pour
un état physiquement réalisable, on doit avoir d’après (8.31)
∞
−∞
dk |A(k)|
2 < ∞
Examinons maintenant l’évolution du paquet d’ondes au cours du temps. Pour
évaluer (8.44), nous utilisons l’approximation de la phase stationnaire. Définissant A(k)=|A(k)| exp(iφ(k)), la phase θ(k) de l’exponentielle dans (8.44)
vaut
θ(k)=kx − ω(k)t + φ(k)
Nous obtiendrons la contribution principale à l’intégrale (8.44) si la phase θ(k)
est stationnaire dans la région k ≃ k où |A(k)| est maximum : en effet, si θ(k)
n’est pas stationnaire, l’exponentielle oscille rapidement et la contribution
moyenne à l’intégrale (8.44) est nulle. Nous devons donc avoir
dθ
dk
k=k
= x − t
dω
dk
k=k
+
dφ
dk
k=k
=0
Le centre du paquet d’ondes va se déplacer selon la loi
x = v g (t − τ )
(8.48)
où v g est la vitesse de groupe, qui n’est autre que la vitesse moyenne v de la
particule
v g = v =
dω
dk
k=k
=
d
dk
k
2
2m
k=k
=
k
m
=
p
m
(8.49)
Le temps τ qui détermine la position initiale x 0 = −v g τ du centre du paquet
d’ondes est
τ =
1
v g
dφ
dk
k=k
=
dφ
dE
k=k
(8.50)
Pour obtenir un résultat plus précis, nous pouvons récrire la phase en développant ω(k) au voisinage de k = k
θ(k)=kx − ω(k)t − (k − k)v g t −
1
2
(k − k)
2
m
t + φ(k)
= ω(k)t + k(x − v g t) −
1
2
(k − k)
2
m
t + φ(k)