252
Physique quantique : Fondements
et par conséquent
exp
− i
Ht
|p =exp
− i
E(p)t
|p
(8.42)
Il est donc naturel d’exprimer x|ϕ(t) en fonction des composantes de |ϕ(t)
dans la base |p
x|ϕ(t) = x| exp
− i
Ht
|ϕ(0) =
dp x|pp| exp
− i
Ht
|ϕ
=
1
√
2π
∞
−∞
dp exp
i
px
− i
E(p)t
˜
ϕ(p)
(8.43)
Afin d’éliminer les facteurs , on introduit le vecteur d’onde k = p/ et la
fréquence ω(k)
k =
p
ω(k)=
E(k)
=
k
2
2m
A(k)=
√
˜
ϕ(k)
pour écrire ϕ(x, t) sous la forme
x
A (k )
2
(x, 0)
2
k
k
x
k
∆
∆
Fig. 8.2 – Dispersions du paquet d’ondes en k et en x.
ϕ(x, t)=
1
√
2π
∞
−∞
dkA(k)exp
ikx − iω(k)t
(8.44)
L’allure qualitative de |A(k)|
2
et celle de |ϕ(x, 0)|
2
sont représentées sur la
figure 8.2. La fonction |A(k)|
2
est centrée à k ≃ k avec une largeur ∆k.
L’inégalité de Heisenberg (8.36) se traduit par
∆x ∆k ≥
1
2
(8.45)
Les cas limites sont :
• Particule de vecteur d’onde (ou d’impulsion) parfaitement défini = onde
plane
A(k)=δ(k − k)
ϕ(x, 0) =
1
√
2π
e
ikx
(8.46)
Physique quantique : Fondements
et par conséquent
exp
− i
Ht
|p =exp
− i
E(p)t
|p
(8.42)
Il est donc naturel d’exprimer x|ϕ(t) en fonction des composantes de |ϕ(t)
dans la base |p
x|ϕ(t) = x| exp
− i
Ht
|ϕ(0) =
dp x|pp| exp
− i
Ht
|ϕ
=
1
√
2π
∞
−∞
dp exp
i
px
− i
E(p)t
˜
ϕ(p)
(8.43)
Afin d’éliminer les facteurs , on introduit le vecteur d’onde k = p/ et la
fréquence ω(k)
k =
p
ω(k)=
E(k)
=
k
2
2m
A(k)=
√
˜
ϕ(k)
pour écrire ϕ(x, t) sous la forme
x
A (k )
2
(x, 0)
2
k
k
x
k
∆
∆
Fig. 8.2 – Dispersions du paquet d’ondes en k et en x.
ϕ(x, t)=
1
√
2π
∞
−∞
dkA(k)exp
ikx − iω(k)t
(8.44)
L’allure qualitative de |A(k)|
2
et celle de |ϕ(x, 0)|
2
sont représentées sur la
figure 8.2. La fonction |A(k)|
2
est centrée à k ≃ k avec une largeur ∆k.
L’inégalité de Heisenberg (8.36) se traduit par
∆x ∆k ≥
1
2
(8.45)
Les cas limites sont :
• Particule de vecteur d’onde (ou d’impulsion) parfaitement défini = onde
plane
A(k)=δ(k − k)
ϕ(x, 0) =
1
√
2π
e
ikx
(8.46)