8. Mécanique ondulatoire
251
sur l’impulsion est au moins de ∼ /∆x = /r. Nous pouvons en déduire
rp ∼ et l’expression de l’énergie (8.37) devient
E ∼
2
2mr 2 −
e
2
r
Cherchons le minimum de E
dE
dr
∼−
2
mr 3 +
e
2
r 2 =0
ce qui donne un minimum pour
r = a 0 =
2
me 2
(8.38)
soit précisément le rayon de Bohr (1.41) de l’atome d’hydrogène ! Naturellement, le fait que l’on obtienne exactement a 0 dans ce calcul d’ordre de
grandeur est un hasard heureux, qui nous permet de retrouver l’énergie de
l’état fondamental (1.42)
E 0 = −
e
2
2a 0
= −
me
4
2 2
(8.39)
S’il est bien entendu que ce calcul ne peut donner qu’un ordre de grandeur, la
physique sous-jacente explique la raison profonde de la stabilité de l’atome : en
raison des inégalités de Heisenberg, l’électron ne peut pas se trouver sur une
orbite de rayon trop petit, sous peine d’acquérir une impulsion importante,
qui fait croître son énergie cinétique. L’énergie de l’état fondamental est obtenue en recherchant le meilleur compromis possible entre énergie cinétique
et énergie potentielle, de façon à obtenir le minimum de l’énergie totale.
8.1.5 Évolution du paquet d’ondes libre
Introduisons la dépendance du vecteur d’état par rapport au temps : le
vecteur d’état est |ϕ(0)≡| ϕ au temps t =0et |ϕ(t) au temps t.L a
fonction d’onde ϕ(x, t) au temps t est donc ϕ(x, t)=x|ϕ(t).P o u ro b t e n i r
|ϕ(t) en fonction de |ϕ(0), nous avons besoin de l’équation d’évolution (4.11)
et donc du hamiltonien H. Nous allons nous restreindre pour l’instant au cas
où l’énergie potentielle est nulle, et où le hamiltonien se réduit à sa partie
énergie cinétique K (7.66)
H = K =
P
2
2m
(8.40)
Comme K et P commutent, les états propres de H peuvent être choisis parmi
ceux de P
P |p = p|p
H|p =
P
2
2m
|p =
p
2
2m
|p = E(p)|p
(8.41)
251
sur l’impulsion est au moins de ∼ /∆x = /r. Nous pouvons en déduire
rp ∼ et l’expression de l’énergie (8.37) devient
E ∼
2
2mr 2 −
e
2
r
Cherchons le minimum de E
dE
dr
∼−
2
mr 3 +
e
2
r 2 =0
ce qui donne un minimum pour
r = a 0 =
2
me 2
(8.38)
soit précisément le rayon de Bohr (1.41) de l’atome d’hydrogène ! Naturellement, le fait que l’on obtienne exactement a 0 dans ce calcul d’ordre de
grandeur est un hasard heureux, qui nous permet de retrouver l’énergie de
l’état fondamental (1.42)
E 0 = −
e
2
2a 0
= −
me
4
2 2
(8.39)
S’il est bien entendu que ce calcul ne peut donner qu’un ordre de grandeur, la
physique sous-jacente explique la raison profonde de la stabilité de l’atome : en
raison des inégalités de Heisenberg, l’électron ne peut pas se trouver sur une
orbite de rayon trop petit, sous peine d’acquérir une impulsion importante,
qui fait croître son énergie cinétique. L’énergie de l’état fondamental est obtenue en recherchant le meilleur compromis possible entre énergie cinétique
et énergie potentielle, de façon à obtenir le minimum de l’énergie totale.
8.1.5 Évolution du paquet d’ondes libre
Introduisons la dépendance du vecteur d’état par rapport au temps : le
vecteur d’état est |ϕ(0)≡| ϕ au temps t =0et |ϕ(t) au temps t.L a
fonction d’onde ϕ(x, t) au temps t est donc ϕ(x, t)=x|ϕ(t).P o u ro b t e n i r
|ϕ(t) en fonction de |ϕ(0), nous avons besoin de l’équation d’évolution (4.11)
et donc du hamiltonien H. Nous allons nous restreindre pour l’instant au cas
où l’énergie potentielle est nulle, et où le hamiltonien se réduit à sa partie
énergie cinétique K (7.66)
H = K =
P
2
2m
(8.40)
Comme K et P commutent, les états propres de H peuvent être choisis parmi
ceux de P
P |p = p|p
H|p =
P
2
2m
|p =
p
2
2m
|p = E(p)|p
(8.41)