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Physique quantique : Fondements
On appelle souvent un tel état physique un paquet d’ondes, car c’est d’après
(8.27) une superposition d’ondes planes. La position moyenne X et l’impulsion moyenne P se calculent en introduisant deux fois les relations de
fermeture (8.9) et (8.25)
3
X = ϕ|X|ϕ =
dx dx
′ ϕ|xx|X|x
′ x
′ |ϕ =
∞
−∞
dxx|ϕ(x)|
2
(8.32)
P = ϕ|P |ϕ =
dp dp
′ ϕ|pp|P |p
′ p
′ |ϕ =
∞
−∞
dpp| ˜
ϕ(p)|
2
(8.33)
Nous avons aussi utilisé (8.7) et une équation analogue dans l’espace des
impulsions. Les dispersions ∆X et ∆P sont données par un calcul similaire
(∆X)
2 = ϕ|(X −X)
2 |ϕ =
∞
−∞
dx (x −X)
2 |ϕ(x)|
2
(8.34)
(∆P )
2
= ϕ|(P −P )
2 |ϕ =
∞
−∞
dp (p −P )
2 | ˜
ϕ(p)|
2
(8.35)
D‘après la démonstration générale du § 4.1.3, ces dispersions vérifient l’inégalité de Heisenberg
∆x ∆p ≥
1
2
(8.36)
où nous avons utilisé la notation usuelle ∆x ∆p au lieu de ∆X ∆P . Une démonstration directe de (8.36) est proposée dans l’exercice 8.7.1.
Pour conclure cette sous-section, montrons l’intérêt de l’inégalité de Heisenberg (8.36) utilisée comme outil heuristique en estimant l’énergie de l’état
fondamental de l’atome d’hydrogène (voir le § 1.5.2). Si l’électron décrit une
orbite circulaire de rayon r avec une impulsion p = mv, son énergie classique
est
E =
p
2
2m
−
e
2
r
(8.37)
En physique classique, le rayon de l’orbite de l’électron tend vers zéro (“l’électron tombe sur le noyau”), ce phénomène étant accompagné de l’émission
de rayonnement électromagnétique : en effet, en physique classique, l’énergie
de l’orbite circulaire E = −e
2 /(2r) n’est pas bornée inférieurement et rien
ne s’oppose à ce que le rayon de l’orbite devienne arbitrairement petit. La
décroissance de l’énergie de l’orbite est compensée par l’émission dans l’espace d’énergie sous forme de rayonnement électromagnétique, ce qui assure la
conservation de l’énergie. Mais sur une orbite de rayon r, la dispersion ∆x de
la position suivant l’axe des x est de l’ordre de r, ce qui fait que la dispersion
3. Les notations explicites seraient Xϕ et P ϕ ; nous avons supprimé l’indice ϕ pour
alléger l’écriture.
Physique quantique : Fondements
On appelle souvent un tel état physique un paquet d’ondes, car c’est d’après
(8.27) une superposition d’ondes planes. La position moyenne X et l’impulsion moyenne P se calculent en introduisant deux fois les relations de
fermeture (8.9) et (8.25)
3
X = ϕ|X|ϕ =
dx dx
′ ϕ|xx|X|x
′ x
′ |ϕ =
∞
−∞
dxx|ϕ(x)|
2
(8.32)
P = ϕ|P |ϕ =
dp dp
′ ϕ|pp|P |p
′ p
′ |ϕ =
∞
−∞
dpp| ˜
ϕ(p)|
2
(8.33)
Nous avons aussi utilisé (8.7) et une équation analogue dans l’espace des
impulsions. Les dispersions ∆X et ∆P sont données par un calcul similaire
(∆X)
2 = ϕ|(X −X)
2 |ϕ =
∞
−∞
dx (x −X)
2 |ϕ(x)|
2
(8.34)
(∆P )
2
= ϕ|(P −P )
2 |ϕ =
∞
−∞
dp (p −P )
2 | ˜
ϕ(p)|
2
(8.35)
D‘après la démonstration générale du § 4.1.3, ces dispersions vérifient l’inégalité de Heisenberg
∆x ∆p ≥
1
2
(8.36)
où nous avons utilisé la notation usuelle ∆x ∆p au lieu de ∆X ∆P . Une démonstration directe de (8.36) est proposée dans l’exercice 8.7.1.
Pour conclure cette sous-section, montrons l’intérêt de l’inégalité de Heisenberg (8.36) utilisée comme outil heuristique en estimant l’énergie de l’état
fondamental de l’atome d’hydrogène (voir le § 1.5.2). Si l’électron décrit une
orbite circulaire de rayon r avec une impulsion p = mv, son énergie classique
est
E =
p
2
2m
−
e
2
r
(8.37)
En physique classique, le rayon de l’orbite de l’électron tend vers zéro (“l’électron tombe sur le noyau”), ce phénomène étant accompagné de l’émission
de rayonnement électromagnétique : en effet, en physique classique, l’énergie
de l’orbite circulaire E = −e
2 /(2r) n’est pas bornée inférieurement et rien
ne s’oppose à ce que le rayon de l’orbite devienne arbitrairement petit. La
décroissance de l’énergie de l’orbite est compensée par l’émission dans l’espace d’énergie sous forme de rayonnement électromagnétique, ce qui assure la
conservation de l’énergie. Mais sur une orbite de rayon r, la dispersion ∆x de
la position suivant l’axe des x est de l’ordre de r, ce qui fait que la dispersion
3. Les notations explicites seraient Xϕ et P ϕ ; nous avons supprimé l’indice ϕ pour
alléger l’écriture.