8. Mécanique ondulatoire
249
On aurait également pu partir de la relation de fermeture sous la forme
∞
−∞
|p dp p| = I
(8.25)
pour écrire
∞
−∞
x
′ |p dp p|x = x
′ |I|x = δ(x − x
′ )
et démontrer ainsi (8.24).
Si |ϕ est le vecteur d’état d’une particule, la “fonction d’onde en représentation p”s e r a˜ ϕ(p)=p|ϕ. Cette fonction d’onde en représentation p n’est
autre que la transformée de Fourier de la fonction d’onde ϕ(x)=x|ϕ de
la représentation x. En effet, en utilisant la relation de fermeture (8.9) et la
définition (8.22), nous obtenons
˜
ϕ(p)=p|ϕ =
∞
−∞
p|x dx x|ϕ =
1
√
2π
∞
−∞
dx e
−ipx/ ϕ(x)
(8.26)
et inversement
ϕ(x)=
1
√
2π
∞
−∞
dp e
ipx/ ˜
ϕ(p)
(8.27)
L’action des opérateurs X et P en représentation p s’obtient sans difficulté
X ˜
ϕ
(p)=i
∂
∂p
˜
ϕ(p)
(8.28)
P ˜
ϕ
(p)=p ˜
ϕ(p)
(8.29)
Une formule analogue à (8.19) est valable dans l’espace des impulsions : la
probabilité p([k, q]) pour que la particule ait son impulsion dans l’intervalle
[k, q] est
p([k, q]) =
q
k
dp | ˜
ϕ(p)|
2
(8.30)
| ˜
ϕ(p)|
2 est une densité de probabilité dans l’espace des impulsions.
8.1.4 Inégalités de Heisenberg
Partons de la représentation de Fourier (8.27) de la fonction d’onde ϕ(x)
d’un état physique. La transformée de Fourier ˜
ϕ(p) vérifie, tout comme ϕ(x),
la condition de normalisation
∞
−∞
dp | ˜
ϕ(p)|
2 =1
(8.31)