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Physique quantique : Fondements
Cette probabilité est normalisée à un par construction, puisque ϕ|ϕ =1 ,
ce que l’on vérifie également sur (8.18). Si l’on considère un intervalle
[x, x + dx] infinitésimal, |ϕ(x)|
2
dx est la probabilité de trouver la particule
dans cet intervalle.
Lorsque la particule possède des degrés de liberté supplémentaires, par
exemple un spin 1/2, on pourra décrire son état quantique en utilisant les
fonctions d’onde ϕ ± (x)
ϕ + (x)=x ⊗ +|ϕ
ϕ − (x)=x ⊗−|ϕ
Nous venons de définir ce que l’on appelle habituellement “la mécanique ondulatoire en représentation x” : nous avons choisi de partir de la base |x où
l’opérateur position est diagonal. Étant donné le rôle symétrique de X et P ,
nous aurions aussi bien pu partir d’une base où P est diagonal, c’est-à-dire définir “la mécanique ondulatoire en représentation p”. La sous-section suivante
est consacrée à cette représentation et à son lien avec la représentation x.
8.1.3 Réalisation dans L
(2)
p (R)
Soit |p un vecteur propre de P
P |p = p|p
(8.20)
Nous allons d’abord déterminer les fonctions d’onde correspondantes χ p (x)=
x|p. Nous pouvons écrire en représentation x
x|
P |p
= px|p = pχ p (x)=−i
∂
∂x
χ p (x)
(8.21)
Nous avons utilisé (8.16) pour obtenir la dernière égalité de l’équation précédente. Quel que soit p dans l’intervalle ] −∞, +∞[, l’équation différentielle
−i
∂
∂x
χ p (x)=pχ p (x)
a pour solution
χ p (x)=x|p =
1
√
2π
e
ipx/
(8.22)
ce qui montre que le spectre de P est continu, tout comme celui de x.L e
facteur de normalisation (2π)
−1/2 dans (8.22) a été choisi de telle sorte que
χ p (x) soit normalisé par un delta de Dirac
∞
−∞
dxχ
∗
p ′ (x)χ p (x)=
1
2π
∞
−∞
dx exp
i
(p − p
′ )x
= δ(p − p
′ )
(8.23)
tandis que la relation de fermeture s’écrit
∞
−∞
dpχ p (x)χ
∗
p (x
′ )=
1
2π
∞
−∞
dp exp
i
p(x − x
′ )
= δ(x − x
′ ) (8.24)
Physique quantique : Fondements
Cette probabilité est normalisée à un par construction, puisque ϕ|ϕ =1 ,
ce que l’on vérifie également sur (8.18). Si l’on considère un intervalle
[x, x + dx] infinitésimal, |ϕ(x)|
2
dx est la probabilité de trouver la particule
dans cet intervalle.
Lorsque la particule possède des degrés de liberté supplémentaires, par
exemple un spin 1/2, on pourra décrire son état quantique en utilisant les
fonctions d’onde ϕ ± (x)
ϕ + (x)=x ⊗ +|ϕ
ϕ − (x)=x ⊗−|ϕ
Nous venons de définir ce que l’on appelle habituellement “la mécanique ondulatoire en représentation x” : nous avons choisi de partir de la base |x où
l’opérateur position est diagonal. Étant donné le rôle symétrique de X et P ,
nous aurions aussi bien pu partir d’une base où P est diagonal, c’est-à-dire définir “la mécanique ondulatoire en représentation p”. La sous-section suivante
est consacrée à cette représentation et à son lien avec la représentation x.
8.1.3 Réalisation dans L
(2)
p (R)
Soit |p un vecteur propre de P
P |p = p|p
(8.20)
Nous allons d’abord déterminer les fonctions d’onde correspondantes χ p (x)=
x|p. Nous pouvons écrire en représentation x
x|
P |p
= px|p = pχ p (x)=−i
∂
∂x
χ p (x)
(8.21)
Nous avons utilisé (8.16) pour obtenir la dernière égalité de l’équation précédente. Quel que soit p dans l’intervalle ] −∞, +∞[, l’équation différentielle
−i
∂
∂x
χ p (x)=pχ p (x)
a pour solution
χ p (x)=x|p =
1
√
2π
e
ipx/
(8.22)
ce qui montre que le spectre de P est continu, tout comme celui de x.L e
facteur de normalisation (2π)
−1/2 dans (8.22) a été choisi de telle sorte que
χ p (x) soit normalisé par un delta de Dirac
∞
−∞
dxχ
∗
p ′ (x)χ p (x)=
1
2π
∞
−∞
dx exp
i
(p − p
′ )x
= δ(p − p
′ )
(8.23)
tandis que la relation de fermeture s’écrit
∞
−∞
dpχ p (x)χ
∗
p (x
′ )=
1
2π
∞
−∞
dp exp
i
p(x − x
′ )
= δ(x − x
′ ) (8.24)